Base d'une topologie
dans Topologie
Bonjour,
Soit X un ensemble, et A un ensemble de parties de X, ce que j'ai trouvé sur internet, c'est que A peut être la base d'une topologie sur X.
Sauf que si je prends par exemple A={X}. A alors ne peut pas être la base d'une topologie, puisqu'il n'existe pas un sous ensemble de A pour lequel l'union des éléments est égal à l'ensemble vide.
Soit X un ensemble, et A un ensemble de parties de X, ce que j'ai trouvé sur internet, c'est que A peut être la base d'une topologie sur X.
Sauf que si je prends par exemple A={X}. A alors ne peut pas être la base d'une topologie, puisqu'il n'existe pas un sous ensemble de A pour lequel l'union des éléments est égal à l'ensemble vide.
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Réponses
Que signifie « Base d’une topologie » ?
N’est-ce pas un ensemble qui engendre une topologie ?
Non, il existe une différence entre un ensemble de parties qui engendre la topologie, et un ensemble de parties qui est une base de la topologie:
Base: A un ensemble de parties est une base d'une topologie, si chaque ouvert de cette topologie s'écrit comme union d'éléments de A.
Engendre: A un ensemble de parties engendre la topologie, si tout ouvert est l'union d'intersections finies d'éléments de A.
Si A engendre la topologie+ A stable par intersection finie, alors A base de la topologie.
An fait ma question vient d'un article de WIKIPEDIA, pour construire d'une manière intérieur une topologie engendrée par un ensemble de parties A, ils clôturent A en B qui est égal à A union toutes les intersections finis possibles d'éléments de A, et puis ils disent que la topologie engendré par A n'est autre que la topologie dont la base est B, alors que je connais pas si B peut être une base d'une topologie.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Prébase
Partie: Topologie engendré.
Je ne comprends pas ta question
aurait plutôt dû être mis par son auteur dans "topologie".
Il lui serait profitable de lui rappeler que:
1/ l'union des éléments de $\emptyset$ est $\emptyset$
2/ $\emptyset$ est une partie de son ensemble nommé $A$
Par ailleurs, le mot "base" est réservé, pour les topologies aux ensembles stables par intersections finies.
3/ Alors que d'une manière générale, une partie $S$ de $P(E)$ engendre comme topologie les réunions quelconques d'intersections finies d'éléments de $S$
On a l'équivalence, pour un ensemble $F$ et une partie $\mathcal C$ de $\mathcal P(F)$ entre
1) $\mathcal C$ est une base de topologie de $F$
2) $\bigcup \mathcal C=F$ et pour tous $V,W \in \mathcal C$ et tout $x\in V \cap W$, il existe $X\in \mathcal C$ tel que $x\in X$ et $X \subseteq V \cap W$.
[size=x-small]NB: si $T$ est un ensemble quelconque, $\bigcup T$ désigne la réunion des éléments de $T$, c'est-à-dire l'ensemble des $y$ pour lesquels il existe au moins un $z\in T$ tel que $y\in z$. Son existence est garantie par un axiome de la théorie usuelle des ensembles (ZF/ZFC).
Lorsque $A,B$ désignent des ensembles $A\cup B$ est l'abréviation habituelle de $\bigcup \{A,B\}$.[/size]
vous semblez confondre confondre ensemble des partie avec ensemble des fermés, parlez-vous d'une version du théorème de Baire ?.
bonne journée