Séparation et unicité de la limite

C'est exactement $T_2$. Si ton espace ne l'est pas, disons $x,y$ non séparés alors je prends $I =$ l'ensemble des couples $(V,W,z)$ où $V$ est un voisinage de $x$ et $W$ un voisinage de $y$ et $z\in V\cap W$ préordonné par l'ordre produit sur $(V,W)$ (où l'ordre sur lws voisinages est l'ordre inverse de l'inclusion)

Alors $f : I\to Y$, $(V,W,z)\mapsto z$ est une fonction et "en $+\infty$" elle converge vers $x,y$ (au sens où : pour tout voisinage $U$ de $x$ il existe $i_o \in I$ tel que pour $i\geq i_0, f(i)\in U$)

Si tu tiens à rendre ça de la forme "un espace topologique et une application continue", tu rajoutes un point à l'infini dans $I$ et tu observes qu'il y a deux limites en ce point à l'infini.

Si tu n'aimes pas les préordres et que l'axiome du choix ne te gêne pas tu peux enlever la coordonnée $z$ et choisir un $z$ par couple $(V,W)$. Mais bon les préordres en topologie non séparée c'est un peu la base (sans maivais jeu de mots)

Homo Topi, ça te plaira peut-être : https://ncatlab.org/nlab/show/compactum
L'autre partie de "unicité de la limite" est "existence de la limite" et la condition correspondante est la quasi-compacité. En demandant ces deux conditions, ça donne apparemment un objet qui peut alors être caractérisé "algébriquement". Maxtimax l'avait déjà évoqué : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1561148,1561660#msg-1561660

Point à l'infini ça suggère de mettre une topologie quand même :-D j'ai dit "discrète sur $I$".
A nouveau, je te conseille de d'abord regarder ce qu'il faut faire avec $\mathbb N$ : soit $X$ un espace topologique et $(u_n)$ une suite de cet espace topologique. Tu connais la définition usuelle de "$u_n$ tend vers $x$ quand $n\to \infty$", n'est-ce pas ? Comment peux-tu la mettre sous la forme de limite au sens que tu décris plus haut en rajoutant à $\mathbb N$ un "point à l'infini" (et en le topologisant !) ? Tu imagines bien que sur $\mathbb N$ lui-même, la topologie va être discrète : la suite $(u_n)$ est quelconque, il n'y aurait pas de pertinence à dire que $\{n\}$ n'est pas ouvert !
Par contre, tu veux formaliser via une topologie qui parle du point à l'infini le fait que "pour tout $U$ voisinage de $x$ il existe $n_0$ tel que pour tout $n\geq n_0$, $u_n\in U$".

Ensuite la réponse pour $I$ sera la même.

Mais il n'y a pas de topologie de l'ordre sur $\overline{ \mathbb N}$ ! Il n'y a que le point à l'infini qui a une topologie non triviale ! Elle est bien discrète, quand elle est restreinte à $\mathbb N$ la topologie de $\overline{ \mathbb N}$ , non ?

@HT: je ne comprends pas vraiment ton problème, mais le cadre pertinent est celui des ultrafiltres, qui malgré ce mot "intimidant" sont une notion très courte à définir et très simple à comprendre.

Une fois ça fait, tu as:

1/ un espace est séparé = tout ultrafiltre au plus une limite

Et tu gagnes en lot gratuit:

2/ un espace est quasicompact = tout ultrafiltre a au moins une limite
3/ un espace est compact (à la française) = tout ultrafiltre a une unique limite.

Je n'ai pas lu le fil (autrement qu'en diagonale), mais les indices te plongeront toujours dans des usines à gaz inextricables. Pas besoin de faire tendre un indice dont quelque chose dépend.

Un ultrafiltre sur un ensemble $E$ est juste une partie de $P(E)$ qui vérifie les mêmes propriétés algébriques que $S_e:=\{A\in P(E)\mid e\in A\}$ et si tu aimes les métaphores, $S_e$ est juste l'équivalent en topologie de $j(a)$ en algèbre linéaire où $\forall f: j(a)(f):=f(a)$

Dans un espace topologique $(E,T)$, l'expression $<<a$ est une limite de $W>>$ est juste une abréviation de $<<$ tout ouvert $U$ tel que $a\in U$ vérifie $U\in W>>$.

Ce que te dit max, c'est que si $(a,b)$ n'est pas séparé dans $E$, les ultrafiltres $L$ tels que $\forall U\ni a, V\ni b$ ouverts $U\cap V\in L$ ont évidemment à la fois $a$ et $b$ comme limites.

Leur existence résulte de l'axiome du choix, mais c'est uniquement pédagogique.

Par ailleurs les ultrafiltres te permettent de ne pas avoir besoin de suivre des cours de Mi,Li, etc à la fac car ils trivialisent la topologie générale (tout énoncé "normal", un peu difficile mais pas trop est une évidence psy avec eux).

Par exemple: pour dire que la limite de $f(x)$ est $b$ quand $x$ tend vers $a$, tu dis juste que tout ultrafiltre $W$ de limite $a$ vérifie que $fW$ *** a comme limite $b$. Etc...

Même s'ils dépendent de l'axiome du choix, vue la fatigue que tu sembles déployer sur le forum (et peut-être les dépenses en bouquins de topo), il me semblerait utile que tu les manipules.

*** l'ultrafiltre évident que tu imagines, ie $fW := [A\mapsto W(A \circ f) ]$, au même titre que tu as :

$$ (f(e) \in A ) = ( A(f(e)) ) = (A\circ f) \in S_e$$

Bah déjà il y a la solution bourrin qui consiste à dire qu'on prend des intersections finies de ces voisinages plutôt que juste eux.
Mais ici, je l'ai dit plus haut, $I$ a la bonne idée d'être un préordre dirigé : étant donnés $i,j \in I$, il existe $k\in I, k\geq i,j$

Maxtimax écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1838312,1838324#msg-1838324
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

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Bonjour, je débarque un peu de nulle part mais ce sujet m'intéresse beaucoup, et j'ai lu attentivement ce message.

Il y a autre chose qui me dérange : un détail pour commencer, les éléments de I ne sont pas des couples mais des triplets. Ok, l'autre truc, j'ai compris, c'est un pré-ordre, c'est-à-dire une relation binaire réflexive et transitive, il n'y a pas d'anti-symétrie.
La topologie choisie m'a l'air d'être le compactifié d'Alexandroff de $I$, ce qui reviens exactement à ajouter un point à l'infini ?
Les voisinages de $\infty$ dans $I$ sont alors les sous-ensembles co-finis de $I$.
Il faut donc une base de voisinages sympathiques de l'infini pour montrer que la fonction $f$ admet à la fois vers $x$ et vers $y$ comme limite.
Et j'ai l'impression que c'est à ça que sert le pré-ordre, mais je suis encore en train de dépiler le thread... à suivre...

Je vais m'arrêter là dessus :

Soit $(X, \preceq)$ un ensemble muni d'une relation d'ordre partiel.

Tout d'abord la construction que tu proposes à partir du préordre n'est pas le compacifié d'Alexandroff comme je le croyais, en effet si on l'applique à $\mathbb{Z}$, on redéfinit $+\infty$ mais pas $-\infty$, le résultat n'est pas un compact.

On cherche à définir une topologie sur $\tilde X = X \cup \{ +\infty \}$, de telle façon que (entre autres) la topologie induite sur $X$ soit la topologie discrète et que $+\infty$ soit adhérent à $X$.

Si $x \in X$, on pose $\mathcal{B}_x = \{ \{ x \} \}$
On pose $\mathcal{B}_{+\infty} = \{ \{ y \in X, y \geq x\} \cup \{ +\infty \}, x \in X\}$.

Alors $(\mathcal{B}_x)_{x \in \tilde X}$ est une base de topologie de $\tilde X$.