Bonsoir comment montrer que si une suite de Cauchy possède une valeur d'adhérence $a$ alors cette suite converge vers $a$ ?
$a$ est une valeurs d'adhérence i.e $$ \forall \varepsilon>0,\ \forall n\in\mathbb{N},\ B(a,\varepsilon)\cap \{x_k\mid k\geq n\}\neq \emptyset.$$
Merci.
Réponses
$\forall \varepsilon>0,\ \exists n_0\in\mathbb{N},\ \forall n\geq n_0\Rightarrow d(x_n,a)<\varepsilon.$
Cauchy :
$\forall \varepsilon>0,\ \exists n_0\in\mathbb{N},\ \forall p,q\geq n_0\Rightarrow d(x_p,x_q)<\varepsilon.$
Pour tout $\epsilon$ strictement positif, ne peut-on justement pas trouver un tel $x$ vérifiant $d(x,a) < \epsilon$ ?
Ne peut-on pas étendre cela à tous les $x$ à partir d'un certain rang justement ?
$ d(x_n, a) \leq d(x_n,x_{n_k})+d(x_{n_k},a)\leq 2\varepsilon$
le premier epsilon de [large]C[/large]auchy et le 2ème en supposant que $x_k$ est dans l'intersection.
Il suffit de prendre le même rang $n_0$.
[Augustin Louis Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]
Explicite un peu mieux qui sont $k$ et $n$, et voit pourquoi ça marche à tous les coups.