Idéal de fonctions plates premier?

Soient $f$ et $g$ non plates. Soit $i$ le plus petit indice tel que $f^{(i)}(0) \neq 0$, et $j$ l'indice correspondant pour $g$. On peut supposer $i \leq j$. Alors d'après la règle de Leibniz, on a $$(fg)^{(i+j)}(0) = \sum_{k=0}^{i+j} \binom{i+j}{k} f^{(k)}(0) g^{(i+j-k)}(0).$$ Les indices $k$ avec $0 \leq k < i$ et $i < k \leq i+j$ ne contribuent pas à la somme, on obtient donc $$(fg)^{(i+j)}(0) = \binom{i+j}{i} f^{(i)}(0)g^{(j)}(0) \neq 0$$ et $fg$ est non plate.