Impaire implique de degré impair ?
Bonjour,
En topologie algébrique on a le résultat classique suivant : soit $f : S^n \to S^n$ une application impaire ($f(-x)=-f(x)$ pour tout $x$) alors elle est de degré impair.
Pour $n$ impair il y a une preuve relativement élégante, qui consiste à passer par $\R P^n$ (car l'application induite par la projection $H_n(S^n)\to H_n(\R P^n)$ est injective), je pourrai la détailler sur demande.
Pour $n$ pair les preuves que je vois en ligne sont sensiblement plus délicates, notamment consistent à calculer plus explicitement certaines applications en homologie, ce qui est généralement peu agréable (et cache un peu l'intuition).
Connaîtriez-vous une preuve du cas pair (ou une preuve uniforme, ce serait encore mieux :-D ) qui soit relativement agréable, quitte à ce qu'elle utilise des outils plus avancés ? (les preuves dont je parle se cantonnent à l'homologie/cohomologie et à l'approximation cellulaire)
En topologie algébrique on a le résultat classique suivant : soit $f : S^n \to S^n$ une application impaire ($f(-x)=-f(x)$ pour tout $x$) alors elle est de degré impair.
Pour $n$ impair il y a une preuve relativement élégante, qui consiste à passer par $\R P^n$ (car l'application induite par la projection $H_n(S^n)\to H_n(\R P^n)$ est injective), je pourrai la détailler sur demande.
Pour $n$ pair les preuves que je vois en ligne sont sensiblement plus délicates, notamment consistent à calculer plus explicitement certaines applications en homologie, ce qui est généralement peu agréable (et cache un peu l'intuition).
Connaîtriez-vous une preuve du cas pair (ou une preuve uniforme, ce serait encore mieux :-D ) qui soit relativement agréable, quitte à ce qu'elle utilise des outils plus avancés ? (les preuves dont je parle se cantonnent à l'homologie/cohomologie et à l'approximation cellulaire)
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Réponses
En utilisant la suspension ?
$$
S^n \times [-1,1] \to S^{n+1}, \qquad\qquad
(x_0, \cdots, x_n, t) \mapsto (\sqrt {1-t^2}\, x_0, \cdots, \sqrt {1-t^2}\, x_n, t)
$$
La suspension $S(S^n)$ c'est $S^{n+1}$, la suspension $S(f)$ d'une application $f$ de $S^n$ dans elle même est une application de $S^{n+1}$ dans $S^{n+1}$ qui est impaire si $f$ l'est. Et enfin la suspension conserve les degrés : $\deg S(f) = \deg f$.
Bof ?
exemple: Soit $f:\C\backslash F \to \C$ une application de la forme $\frac{P(z)}{Q(z)}$ où $P,Q\in \C[X]$ sont sans facteurs communs et $F$ est fini et contient les racines de $Q$. Alors $f$ se prolonge en fonction holomorphe $\overline f $de $\C \cup \{\infty \} \simeq S^2$ dans lui-même.
Comme les fonctions holomorphes préservent l'orientation en tout point (cf ci-dessous) on en déduit que $deg(\overline f )=\max \left (deg(P),deg(Q) \right)$ ce qui fait le lien avec une certaine formule de géométrie algébrique (dans la preuve du théorème de Lüroth, on retrouve cette définition du degré qui tombe du ciel).
I) Soit $n$ entier, $f:S^n \to S^n$ $C^1$ et $a\in S^n$. On dit que $f$ préserve (resp. change) l'orientation en $a$ si dans un atlas orientable de $S^n$, le déterminant de la dérivée de $f$ en $a$ est strictement positif (resp strictement négatif).
D'après le lemme de Sard, il existe une partie $X$ de $S^n$ de complémentaire de mesure nulle (si on ne sait pas ce que ça veut dire, ça entraîne tout de même que $X$ est dense ce qui est tout ce dont on va avoir besoin) dans $S^n$, telle que pour tout $v\in X$
et tout $u\in f^{-1}(v)$, la différentielle de $f$ en $u$ est inversible. Par compacité de $S^n$ et via le théorème d'inversion locale, $f^{-1}(u)$ ne contient que des points isolés et est donc fini.
On fixe $a\in X$ dans la suite.
Si $x\in f^{-1}(a)$, on pose $\varepsilon^a_x=1$ (resp $-1$) si $f$ préserve l'orientation en $x$ (resp s'il la change).
Toutes ces simagrées sont en vue du résultat suivant:
Le degré de $f$ est égal à $\displaystyle{\sum_{x \in f^{-1}(a)} \varepsilon^a_x}$
En effet soient $\{x_1,...,x_p\}:=f^{-1}(a)$, $U$ un voisinage de $a$ dans $S^n$ et $V_1,...,V_p$ des voisinages de $x_1,...,x_p$ disjoints tels que pour tout $i$, $f$ induit un difféomorphisme de $V_i$ dans $U$ (inversion locale).
Il existe alors un voisinage $U'$ de $a$ contenu dans $U$ tel que $f^{-1}(U')\subseteq \bigcup_{i=1}^p V_i$ (dans le cas contraire on construit des suites $n\mapsto z_n,y_n$ telles que $\forall n,f(z_n)=y_n$, $y_n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} a$ et $z_n \notin \bigcup_{i=1}^p V_i$ pour tout $n$ et on extrait une sous-suite de $n\mapsto z_n$ pour aboutir à une contradiction).
Soit $\omega$ une $n$-forme sur $S^n$ telle que $\int_{S^n} \omega \neq 0$ et à support contenu dans $U'$. Alors par construction $$deg(f) \int_{S^n} \omega = \int_{S^n} f^* \omega = \sum_{i=1}^p \int_{S^n} \varepsilon_{x_i}^a \omega = \left ( \sum_{i=1}^p \varepsilon_{x_i}^a \right ) \int_{S^n}\omega $$ d'où le résultat.