Parties finies et evn

Oui, déjà on montre que les singletons sont fermés(*), et comme les parties finies sont des unions finies de singletons, elles sont fermées.

(*) Si $(E,d)$ est un espace métrique et $x \in E$, alors en considérant $y \in E \setminus \{x\}$ et en notant $r = d(x,y)$, alors la boule ouverte centrée en $y$ de rayon $r/2$ est incluse dans $E \setminus \{x\}$, donc $E \setminus \{x\}$ est ouvert, donc $\{x\} = (E \setminus \{x\})^c$ est fermé.