Localement compact

Topotopo
Topotopo
dans Topologie
Bonjour
S'il vous plait comment démontrer l'équivalence suivante.

$E$ est localement compact si et seulement si $\forall x\in E,\ \forall V\in \mathcal{V}(x), \ \exists U\subset E (\text{ouvert}),\ x\in U\subset \overline{U}\subset V, \ \overline{U}\, \text{compact}$
Merci.

Réponses

  • Tryss
    Tryss
    Quelle est ta définition de "E est localement compact"?
  • Topotopo
    Topotopo
    Tout point admet un voisinage compact
  • Topotopo
    Topotopo
    Je pense que finalement c'est simple

    si : $\forall x\in E, \exists V\in \mathcal{V}(x), \exists U\subset E, (\text{ouvert}), x\in U\subset \overline{U}\subset E, \overline{U}\,\text{est compact}$
    alors tout x admet un voisinage compact $\overline{U}$ donc $E$ est localement compact.

    Inversement supposons que $E$ est localement compact et soit $x\in E$ et $V\in \mathcal{V}(x)$ par definition il exist un voisinage compact $K$, par definition du voisinage il exist un ouvert $U$ tel que

    $x\in U\subset K$ donc $\overline{U}\subset K$ fermé dans un compact est un compact donc $\overline{U}$ est compact.

    par contre Je ne vois pas la relation avec $V$ il doit y avoir une erreur dans l'énoncé?
  • Topotopo
    Topotopo
    J'ai corrigé l'énoncé $\overline{U}\subset V$.

    Comment faire pour rester dans $V$?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Pour avoir l'équivalence il faut des hypothèses en plus, par exemple Hausdorff (aussi appelé séparé ou $T_2$).

    Sinon par exemple prenons $X$ un espace quelconque non vide et $E:= \{\infty\}\cup X$ avec $\infty\notin X$ et avec comme ouverts ceux de $X$ et $E$ tout entier.

    Alors $E$ est compact donc tout point admet un voisinage compact. Pour autant si je prends $x\in X$ et $V=X$ comme voisinage, un tel $U$ n'existe pas car $\infty \in \overline U$ de manière évidente.

    Si tes voisinages compacts sont eux-mêmes séparés sans que l'espace total ne le soit, il y a aussi des contrexemples du même genre (par exemple $[0,1[$ auquel on adjoint deux $1$ distincts. Alors si je prends $V = [0, 1_0]$, $1_1\in \overline V$ interdit la propriété)

    Si l'espace est Hausdorff, tu peux utiliser cette hypothèse pour séparer les points hors de $V$ de $x$ par exemple
  • raoul.S
    raoul.S
    @Topotopo c'est n'est pas trivial. Tu peux trouver une preuve (même deux) sur Wikipedia.

    @Maxtimax un espace localement compact est séparé par définition (en France en tout cas).
  • Topotopo
    Topotopo
    dans notre cours si l'espace n'est pas Hausdorff on ne parle pas de compacité, c'est pour cela que j''ai oublié.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Raoul S : ce n'est pas la définition que Topotopo a mentionnée.

    Topotop : ce que j'ai dit à la fin c'est qu'il faut aussi demander que $E$ soit Hausdorff, pas uniquement les voisinages compacts
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