Bonjour
S'il vous plait comment démontrer l'équivalence suivante.
$E$ est localement compact si et seulement si $\forall x\in E,\ \forall V\in \mathcal{V}(x), \ \exists U\subset E (\text{ouvert}),\ x\in U\subset \overline{U}\subset V, \ \overline{U}\, \text{compact}$
Merci.
Réponses
si : $\forall x\in E, \exists V\in \mathcal{V}(x), \exists U\subset E, (\text{ouvert}), x\in U\subset \overline{U}\subset E, \overline{U}\,\text{est compact}$
alors tout x admet un voisinage compact $\overline{U}$ donc $E$ est localement compact.
Inversement supposons que $E$ est localement compact et soit $x\in E$ et $V\in \mathcal{V}(x)$ par definition il exist un voisinage compact $K$, par definition du voisinage il exist un ouvert $U$ tel que
$x\in U\subset K$ donc $\overline{U}\subset K$ fermé dans un compact est un compact donc $\overline{U}$ est compact.
par contre Je ne vois pas la relation avec $V$ il doit y avoir une erreur dans l'énoncé?
Comment faire pour rester dans $V$?
Sinon par exemple prenons $X$ un espace quelconque non vide et $E:= \{\infty\}\cup X$ avec $\infty\notin X$ et avec comme ouverts ceux de $X$ et $E$ tout entier.
Alors $E$ est compact donc tout point admet un voisinage compact. Pour autant si je prends $x\in X$ et $V=X$ comme voisinage, un tel $U$ n'existe pas car $\infty \in \overline U$ de manière évidente.
Si tes voisinages compacts sont eux-mêmes séparés sans que l'espace total ne le soit, il y a aussi des contrexemples du même genre (par exemple $[0,1[$ auquel on adjoint deux $1$ distincts. Alors si je prends $V = [0, 1_0]$, $1_1\in \overline V$ interdit la propriété)
Si l'espace est Hausdorff, tu peux utiliser cette hypothèse pour séparer les points hors de $V$ de $x$ par exemple
@Maxtimax un espace localement compact est séparé par définition (en France en tout cas).
Topotop : ce que j'ai dit à la fin c'est qu'il faut aussi demander que $E$ soit Hausdorff, pas uniquement les voisinages compacts