Localement compact+propre

J'aime bien la preuve de raoul. En voici une qui copie la preuve naïve utilisant les suites mais qui marche, parce qu'in utilise des filets (nets en anglais): soit $F\subset X$ fermé. On veut montrer que $f(F)$ est fermé : soit $(y_i)_{i\in I}$ un filet à valeurs dans $f(F)$ convergeant vers $y\in Y$.
Soit $K$ un voisinage compact de $y$ (hypothèse). Quitte à changer $I$, on peut supposer $y_i\in K$ pour tout $i$. Soit $J=\{(i,x)\in I\times F \mid f(x)=y_i\}$ muni du préordre donné par $(i,x)\leq (j,z) \iff i\leq j$, et $x_j := x$ si $j=(i,x)\in J$, et $\varphi : J\to I, (i,x)\mapsto i$ qui est cofinale car $y_i \in f(F)$ pour $i\in I$

Alors $f(x_j) = y_{\varphi(j)}$ pour $j\in J$. De plus $(x_j)$ est à valeurs dans $f^{-1}(K)$ qui est compact car $f$ est propre, donc on peut en extraire un sous-filet convergent, $(x_{\psi(s)})_{s\in S}$, disons convergeant vers $x$. Alors par continuité de $f$, $y_{\varphi\circ \psi (s)}$ converge vers $f(x)$ et est un sous-filet de $(y_i)$ donc il converge vers $y$.

Donc comme $Y$ est séparé, $f(x)=y$ : $f(F)$ est fermé.

Pour contemplation je donne la version ANS.

b std, f(x) superproche de b, x dans F. Soit a superproche de x (existence due au fait qu'il existe un voisinage std de b qui est d'image réciproque compacte). Alors f(a)=b et a dans F. À noter qu'aucune hypothèse de séparation sur l'espace de départ n'est faite.

Les filtres/filets sont des moyens de transposer les raisonnements tenus avec des suites (dans le cas particuliers d'espaces métriques) aux cas plus généraux où les suites ne marchent plus.
Par exemple dans un espace métrique, une fonction $f$ est continue en un point $x$ si et seulement si pour toute suite $(y_n)_{n\in \N}$ convergeant vers $x$, la suite $\left (f(y_n) \right )_{n \in \N}$ converge vers $f(x)$.
Ceci est faux pour des espaces généraux cependant:

Si $X,Y$ sont des espaces topologiques, $x\in X$ et $f:X\to Y$, alors $f$ est continue en $x$ si et seulement si pour tout filtre $\mathcal F$ de $X$ convergeant vers $x$, la base de filtre $\{f(V) \mid V \in \mathcal F \}$ coonverge vers $f(x)$.
Avec un peu d'habitude on s'aperçoit que cette analogie s'applique dans beaucoup de situations.

A titre d'exemple, essaie de trouver une preuve avec des suites de ce qu'une application propre $f:X\to Y$ ($Y$ localement compact)est fermée, dans le cas particulier où $X$ et $Y$ sont métriques, et compare avec les preuves ci-dessus.

Beh moi je sais que j'ai toujours plus de succès quand je raconte les filets à des camarades que quand je leur parle de filtres :-D

Mieux vaut tard que jamais, je suis sur un PC, et malgré peu de dispo, j'essaie de te fournir les éléments promis. Alors, attention, je vais taper une approche algébrique qui peut paraitre intimidante uniquement parce que ça va plus vite.

1/ Je pense que tu connais le corps $F_2$, doté de deux opérations $+;\times$. Encore faut-il préciser qui on entend considérer comme "faux". Et bien à la différence de nombreuses traditions, ce sera $1$ le faux et $0$ le vrai. De sorte que $+$ est le connecteur $\iff$ et $\times$ le connecteur $ou$.

2/ Soit $E$ un ensemble. Une partie $X$ de $E$ est une application de $E$ dans $F_2$ et $X(u)=[$ if $u\in X$ then $0$ else $1]$.

3/ Soit $a\in E$. La fonction $j(a):=[X\mapsto X(a)]$ est un morphisme, dès lors que tu as décidé que $\forall f\in \{+;\times\}: \ (X\ f\ Y)$ désigne l'ensemble $u\mapsto f(X(u),Y(u))$.

4.1/ Et bien, comme tu peux le deviner, il n'y a pas que les $j(a)$ qui sont de tels morphismes. Ces morphismes s'appellent des ultrafiltres. En fait, ils se comportent "en termes de vérifications/mises à l'épreuve finies" comme les $j(a)$. En ce sens, on peut dire que ce sont des "éléments fantômes de $E$"

4.2/ Si $f:E\to F$ et $s$ est un ultrafiltre sur $E$ alors la fonction $X\mapsto s(X\circ f)$, que je note parfois $f[ s ]$ est un ultrafiltre sur $F$ (tu peux penser à $j(a)$ et calculer $j(f(a))(Y)$ pour $Y\subset F$, qui vaut $Y(f(a)) = (Y\circ f)(a)$

5/ L'axiome du choix entraine que tout filtre est inclus dans un filtre maximal. Les ultrafiltres sont les filtres maximaux.

6/ Une fois que tu auras digéré les points 1 à 5, tu pourras profiter complètement de la topologie dans le sens suivant:

6.1/ Une topologie sur $E$ est "essentiellement" la donnée d'une relation binaire entre ultrafiltres et éléments de $E$ qui, pour faire de la poésie s'écrit $<<$ l'élément $e$ de $E$ est (ou n'est pas) une limite de l'ultrafiltre $W>>$

6.2/ Une fois adopté ce paradigme, tu as:

- T est quasicompacte ssi tout ultrafiltre admet au moins une limite
- T est séparé (au sens $T_2$) ssi tout ultrafiltre a au plus une limite
- T est compacte ssi elle est séparée et quasicompacte (ce qui te donne que tout ultrafiltre a exactement une et une seule limite

6.3/ $[f(x)$ tend vers $b$ quand $x$ tend vers $a]$ ssi $[$ pour tout ultrafiltre $W$ dont $a$ est une limite l'ultrafiltre image $f[W]$ a $b$ comme limite$]$

7/ Ces choses étant acquises, ton exercice devient une tautologie

8/ Remarque: à la différence des suites généralisées, tu n'as pas de problème de gestion d'indices, puisqu'il n'y a tout simplement pas d'indices.