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Localement compact+propre

Envoyé par Smith 
Localement compact+propre
il y a sept semaines
Bonsoir,

Soient $X,Y$ deux espaces topologiques séparés avec $Y$ localement compact (abrégé lc) . Soit $f:X\to Y$ continue et propre.

Je voudrais démontrer que $f$ est fermée.

Soit $F$ un fermé, cela revient à montrer que $Y\setminus F$ est ouvert dans $X.$

Si je prends $y\in Y\setminus F$ alors il existe un voisinage $V$ **ouvert** de $y$ tel que $\overline{V}$ soit compact car $Y$ est lc.

Donc $f^{-1}(\overline{V})$ est compact car $f$ est propre. Si je prends $f^{-1}(\overline{V})\cap F:=K$ alors $K$ est compact (car si fermé dans un compact alors compact).

Donc par continuité de $f,\; f(K)$ est compact. Donc $f(K)$ est fermé car $Y$ est séparé. On a $f(K)\subset \overline{V}\cap f(F)\subset \overline{V}.$

Mais j'aimerais avoir $f(K)\subset V$ comme ça j'aurais $V\setminus f(K)$ qui est un voisinage ouvert de $y$ qui ne rencontre pas $F$.

Coment faire?
Re: Localement compact+propre
il y a sept semaines
@Smith j'ai pas trop suivi ta démarche mais dans mon cours de topologie on avait une super preuve de cette affirmation qui devenait évidente via le compactifié d'Alexandrov.

En gros tu considère le prolongement $\tilde{f}$ de $f$ aux compactifiés d'Alexandrov de $X$ et $Y$ (on envoie l'infini de $X$ sur l'infini de $Y$). Si $f$ est propre alors le prolongement défini avant est continu (facile à vérifier) et donc si tu prends un fermé $F$ de $X$ et que tu lui ajoute l'élément infini de $X$ tu obtiens un compact (dans le compactifié d'Alexandrov de $X$) et l'image de ce compact par l'application continue $\tilde{f}$ est donc un fermé (car compact) dans le compactifié d'Alexandrov de $Y$, par suite l'image de $F$ par $f$ est fermée.

Bref j'ai la flemme de tout écrire en Latex mais je trouve la preuve super élégante.
Re: Localement compact+propre
il y a sept semaines
J'aime bien la preuve de raoul. En voici une qui copie la preuve naïve utilisant les suites mais qui marche, parce qu'in utilise des filets (nets en anglais): soit $F\subset X$ fermé. On veut montrer que $f(F)$ est fermé : soit $(y_i)_{i\in I}$ un filet à valeurs dans $f(F)$ convergeant vers $y\in Y$.
Soit $K$ un voisinage compact de $y$ (hypothèse). Quitte à changer $I$, on peut supposer $y_i\in K$ pour tout $i$. Soit $J=\{(i,x)\in I\times F \mid f(x)=y_i\}$ muni du préordre donné par $(i,x)\leq (j,z) \iff i\leq j$, et $x_j := x$ si $j=(i,x)\in J$, et $\varphi : J\to I, (i,x)\mapsto i$ qui est cofinale car $y_i \in f(F)$ pour $i\in I$

Alors $f(x_j) = y_{\varphi(j)}$ pour $j\in J$. De plus $(x_j)$ est à valeurs dans $f^{-1}(K)$ qui est compact car $f$ est propre, donc on peut en extraire un sous-filet convergent, $(x_{\psi(s)})_{s\in S}$, disons convergeant vers $x$. Alors par continuité de $f$, $y_{\varphi\circ \psi (s)}$ converge vers $f(x)$ et est un sous-filet de $(y_i)$ donc il converge vers $y$.

Donc comme $Y$ est séparé, $f(x)=y$ : $f(F)$ est fermé.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Localement compact+propre
il y a sept semaines
Merci à vous deux pour ces preuves, je vais décortiquer ça cet après-midi.

J'en conclus que mon ébauche ne permet pas de conclure.
Re: Localement compact+propre
il y a sept semaines
Pour contemplation je donne la version ANS.

b std, f(x) superproche de b, x dans F. Soit a superproche de x (existence due au fait qu'il existe un voisinage std de b qui est d'image réciproque compacte). Alors f(a)=b et a dans F. À noter qu'aucune hypothèse de séparation sur l'espace de départ n'est faite.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Localement compact+propre
il y a sept semaines
Une preuve avec les définitions de base (mais qui utilise les filtres sans le dire, d'ailleurs toutes ces preuves sont un peu les mêmes)
Soit $b\in Y$ adhérent à l'image de $f$. On va montrer que $b$ est dans l'image de $f$.
Soit $K$ un voisinage compact de $b$ dans $Y$.
Alors $f^{-1}(K)$ est compact. Si $V$ est un voisinage de $b$ contenu dans $K$, $f^{-1}(V)$ n'est pas vide (car $y$ est adhérent à $f(X)$) et on note $\Phi_V$ l'adhérence de $f^{-1}(V)$ dans $X$ (qui est contenue dans le compact $f^{-1}(K)$ par séparation de $X$). On a alors pout tous $U,V$ voisinages de $y$, $\Phi_{V \cap W} \subseteq \Phi_U \cap \Phi_V$. Il en résulte que pour toute famille finie $(V_i)_{1\leq i \leq n}$ de voisinages de $y$, $\bigcap_{i=1}^n \Phi_{V_i}$ n'est pas vide et donc (compacité de $f^{-1}(K)$) il existe $a\in X$ appartenant à $\Phi_V$ pour tout voisinage $V$ de $b$.
Montrons que $b=f(a)$.
Sinon, comme $Y$ est séparé, il existe un voisinage $W$ de $f(a)$ et $W'$ de $b$ disjoints avec (quitte à remplacer $W'$ par $W'\cap K$) $W'\subseteq K$. On a alors $f^{-1}(W) \cap f^{-1}(W') = \emptyset$ et donc comme $a \in f^{-1}(W) $, $a\notin \Phi_{W'}=\overline{f^{-1}(W')} $. Contradiction.
Re: Localement compact+propre
il y a sept semaines
Oula merci Foys et Christophe, mais je ne sais pas si j'aurais le courage de décortiquer...

Pourquoi utiliser des filtres? Et des filets? Existe-t-il une raison profonde?
Re: Localement compact+propre
il y a sept semaines
Ce dont des objets très simples et mal traités pour raisons politiques en fait. Ils permettent de ne pas avoir besoin d'inspiration en donnant un paysage immédiatement exhaustif de la situation (autrement dit si ce n'est pas évident avec eux c'est que ça provient de profondeurs différentes non topologiques.

Par contre attention foys ne led utilisent pas et Max utilise des suites généralisées qui sont t bien plus complexes que celle des ultrafiltre car il y a ded indices.

L'ANS traduit les ultrafiltre texto.

En utilisant juste le mot ultrafiltre ça donne :

W ultrafiltre sur F dont b est limite de l'image par f. Soit V voisinage compact de b. Il suit f[ W ] dans V. Par hypothèse l'image réciproque de V par f est compact et comme il est dans W , y a un elt a qui est limite de W, donc dans F. Donc f(a) = b.

Un ultrafiltre est juste un ensemble qui se comporte comme {X / e dans X} pour un certain e. Une limite u de l'ultrafiltre U est juste telle que tout voisinage de u est dans U.

On peut aussi écrire une preuve directe sans indice de 5 à 10 lignes à partir juste des définitions. Tu pourrais essayer de le faire.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Localement compact+propre
il y a sept semaines
Les filtres/filets sont des moyens de transposer les raisonnements tenus avec des suites (dans le cas particuliers d'espaces métriques) aux cas plus généraux où les suites ne marchent plus.
Par exemple dans un espace métrique, une fonction $f$ est continue en un point $x$ si et seulement si pour toute suite $(y_n)_{n\in \N}$ convergeant vers $x$, la suite $\left (f(y_n) \right )_{n \in \N}$ converge vers $f(x)$.
Ceci est faux pour des espaces généraux cependant:

Si $X,Y$ sont des espaces topologiques, $x\in X$ et $f:X\to Y$, alors $f$ est continue en $x$ si et seulement si pour tout filtre $\mathcal F$ de $X$ convergeant vers $x$, la base de filtre $\{f(V) \mid V \in \mathcal F \}$ coonverge vers $f(x)$.
Avec un peu d'habitude on s'aperçoit que cette analogie s'applique dans beaucoup de situations.

A titre d'exemple, essaie de trouver une preuve avec des suites de ce qu'une application propre $f:X\to Y$ ($Y$ localement compact)est fermée, dans le cas particulier où $X$ et $Y$ sont métriques, et compare avec les preuves ci-dessus.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Foys.
Re: Localement compact+propre
il y a sept semaines
Christophe : plus complexes, oui, mais plus facile à comprendre intuitivement par contre (en tout cas quand, comme beaucoup d'étudiants, on est habitué aux raisonnements avec des suites parce qu'habitué aux espaces métriques)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Poirot.
Re: Localement compact+propre
il y a sept semaines
Ok merci beaucoup Foys pour ton explication qui se lit si facilement.

Je vais faire cet exercice et comparer.
Re: Localement compact+propre
il y a sept semaines
@max: je ne peux pas trop savoir le ressenti des étudiants sur ce point, mais ce que je peux dire est que ça conduit à structurer l'ensemble d'indices. Et surtout ça deformalise sauf à en écrire long.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Localement compact+propre
il y a sept semaines
Beh moi je sais que j'ai toujours plus de succès quand je raconte les filets à des camarades que quand je leur parle de filtres grinning smiley

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Localement compact+propre
il y a sept semaines
D'un PC, je reviendrai rédiger une preuve structurée avec ultrafiltres sans sauter d'étape. De toute façon dans le cas présent on est sur un énoncé trivial ne nécessitant pas ces outils (suites etc) mais il serait renseignant de voir un truc propre en face. Je ferai l'effort.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Localement compact+propre
il y a cinq semaines
Mieux vaut tard que jamais, je suis sur un PC, et malgré peu de dispo, j'essaie de te fournir les éléments promis. Alors, attention, je vais taper une approche algébrique qui peut paraitre intimidante uniquement parce que ça va plus vite.

1/ Je pense que tu connais le corps $F_2$, doté de deux opérations $+;\times$. Encore faut-il préciser qui on entend considérer comme "faux". Et bien à la différence de nombreuses traditions, ce sera $1$ le faux et $0$ le vrai. De sorte que $+$ est le connecteur $\iff$ et $\times$ le connecteur $ou$.

2/ Soit $E$ un ensemble. Une partie $X$ de $E$ est une application de $E$ dans $F_2$ et $X(u)=[$ if $u\in X$ then $0$ else $1]$.

3/ Soit $a\in E$. La fonction $j(a):=[X\mapsto X(a)]$ est un morphisme, dès lors que tu as décidé que $\forall f\in \{+;\times\}: \ (X\ f\ Y)$ désigne l'ensemble $u\mapsto f(X(u),Y(u))$.

4.1/ Et bien, comme tu peux le deviner, il n'y a pas que les $j(a)$ qui sont de tels morphismes. Ces morphismes s'appellent des ultrafiltres. En fait, ils se comportent "en termes de vérifications/mises à l'épreuve finies" comme les $j(a)$. En ce sens, on peut dire que ce sont des "éléments fantômes de $E$"

4.2/ Si $f:E\to F$ et $s$ est un ultrafiltre sur $E$ alors la fonction $X\mapsto s(X\circ f)$, que je note parfois $f[ s ]$ est un ultrafiltre sur $F$ (tu peux penser à $j(a)$ et calculer $j(f(a))(Y)$ pour $Y\subset F$, qui vaut $Y(f(a)) = (Y\circ f)(a)$

5/ L'axiome du choix entraine que tout filtre est inclus dans un filtre maximal. Les ultrafiltres sont les filtres maximaux.

6/ Une fois que tu auras digéré les points 1 à 5, tu pourras profiter complètement de la topologie dans le sens suivant:

6.1/ Une topologie sur $E$ est "essentiellement" la donnée d'une relation binaire entre ultrafiltres et éléments de $E$ qui, pour faire de la poésie s'écrit $<<$ l'élément $e$ de $E$ est (ou n'est pas) une limite de l'ultrafiltre $W>>$

6.2/ Une fois adopté ce paradigme, tu as:

- T est quasicompacte ssi tout ultrafiltre admet au moins une limite
- T est séparé (au sens $T_2$) ssi tout ultrafiltre a au plus une limite
- T est compacte ssi elle est séparée et quasicompacte (ce qui te donne que tout ultrafiltre a exactement une et une seule limite

6.3/ $[f(x)$ tend vers $b$ quand $x$ tend vers $a]$ ssi $[$ pour tout ultrafiltre $W$ dont $a$ est une limite l'ultrafiltre image $f[W]$ a $b$ comme limite$]$

7/ Ces choses étant acquises, ton exercice devient une tautologie

8/ Remarque: à la différence des suites généralisées, tu n'as pas de problème de gestion d'indices, puisqu'il n'y a tout simplement pas d'indices.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe c.
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