Norme plus fine que l'autre

math89
math89
dans Topologie
Bonsoir,
j'ai deux normes sur l'espace des fonctions continues et dérivablee sur [0,1].

$||f||_1=||f||_{\infty}+||f'||_{\infty}$

$||f||_2=||f||_{\infty}+\int_0^1|f'(s)|ds$

il est clair que $||f||_2\leq ||f||_1$ est-ce que c'est suffisant pour conclure que $\|\cdot\|_1$ est plus fine que $\|\cdot\|_2$ ?

Merci.

Réponses

  • math89
    math89
    Pas d'idée ?
  • Dom
    Dom
    Bonjour,

    Une remarque d’abord.
    L’espace de fonctions n’est certainement pas celui que tu décris : en effet il existe des fonctions dérivables (donc continues) dont la dérivée n’est pas bornée et donc $||.||_{\infty}$ n’est pas définie et donc $||.||_1$ non plus et il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n’est pas intégrable et donc $||.||_2$ n’est pas définie.

    A part cela, oui, cela suffit.
    Certains voudront une preuve (même si elle est facile pour toi) du « il est clair ».

    Cordialement

    Dom
  • math89
    math89
    Je vais revoir l'espace, il clair car j'ai juste remarqué que

    $\int_0^1 |f'(x)|dx\leq \int_0^1 ||f'||_{\infty}$

    d'habitude pour l'espace on prend $\mathcal{C}^1$ et puisque c'est sur un borné tout est bien définie
  • Poirot
    Poirot
    Tu as démontré que $|| \cdot ||_1$ est plus fine que $|| \cdot ||_2$, c'est-ce qu'il te faut de plus ?
  • christophe c
    christophe c
    @dom: c'est vrai qu'en général on précise l'espace pour qu'il te tre dans les clous. Mais ce n'est pas nécessaire en fait car la plupart du temps "pas défini == infini". Bon ce que je te dis la ne vaut bien sûr que pour le rôle topologique (ou métrique) de la norme.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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