Norme plus fine que l'autre
Bonsoir,
j'ai deux normes sur l'espace des fonctions continues et dérivablee sur [0,1].
$||f||_1=||f||_{\infty}+||f'||_{\infty}$
$||f||_2=||f||_{\infty}+\int_0^1|f'(s)|ds$
il est clair que $||f||_2\leq ||f||_1$ est-ce que c'est suffisant pour conclure que $\|\cdot\|_1$ est plus fine que $\|\cdot\|_2$ ?
Merci.
j'ai deux normes sur l'espace des fonctions continues et dérivablee sur [0,1].
$||f||_1=||f||_{\infty}+||f'||_{\infty}$
$||f||_2=||f||_{\infty}+\int_0^1|f'(s)|ds$
il est clair que $||f||_2\leq ||f||_1$ est-ce que c'est suffisant pour conclure que $\|\cdot\|_1$ est plus fine que $\|\cdot\|_2$ ?
Merci.
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Réponses
Une remarque d’abord.
L’espace de fonctions n’est certainement pas celui que tu décris : en effet il existe des fonctions dérivables (donc continues) dont la dérivée n’est pas bornée et donc $||.||_{\infty}$ n’est pas définie et donc $||.||_1$ non plus et il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n’est pas intégrable et donc $||.||_2$ n’est pas définie.
A part cela, oui, cela suffit.
Certains voudront une preuve (même si elle est facile pour toi) du « il est clair ».
Cordialement
Dom
$\int_0^1 |f'(x)|dx\leq \int_0^1 ||f'||_{\infty}$
d'habitude pour l'espace on prend $\mathcal{C}^1$ et puisque c'est sur un borné tout est bien définie