Notion d'intérieur

Lafdili
Lafdili
dans Topologie
Soit $\varphi $ définie sur un espace vectoriel normé $E$ dans $]{-}\infty,+\infty]$, convexe telle que il existe $x_0\in E$ tel que $\varphi(x_0)<+\infty$, et $\varphi$ soit continue en $x_0$, on note $C=\mathrm{epi\,}\varphi=\lbrace (x,\lambda)\in E×\mathbb{R}\mid \varphi(x)\leq\lambda\rbrace$
Montrer que $\mathrm{int}\, C\neq\varnothing$ ?

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,

    Il suffit d'utiliser la définition de la continuité en $x_0$ pour trouver un voisinage de $(x_0,\lambda+1)$ contenu dans l'épigraphe.
  • christophe c
    christophe c
    @Laf sais tu ce qu'est un ouvert d'un produit?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Lafdili
    Lafdili
    Voilà ce que je fais, dis moi s'il y a des remarques. Svp(merçi d'avance).

    Comme $f$ est continue en $x_0$, alors pour $\epsilon=1,$ il existe $\alpha>0$ tel que $\forall x\in B(x_0,\alpha)$ on ait $|\varphi(x)-\varphi(x_0)|<1$ ce qui implique $|\varphi(x)|<1+|\varphi(x_0)|$
    Donc $B(x_0,\alpha)\times\,]1{+}|\varphi(x_0)|,+\infty[\neq\varnothing$ est un ouvert de $E×\mathbb{R}$ contenu dans $epi\varphi$, et on sait que l'intérieur de $epi\varphi$ est le plus grand ouvert contenu dans $epi\varphi$ alors $B(x_0,\alpha)\times \,]1{+}|\varphi(x_0)|,+\infty[$ est contenu dans l'intérieur de $epi\varphi$. D'où le résultat.
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