*Il faut alors trouver deux normes qui rendent complètes $\mathcal{C}^{0},$ mais non équivalentes (et même plus, pas d'injection dans un sens ou dans l'autre, par le théorème d'isomorphisme de Banach!)
**Bon, voilà une façon générique de procéder!
Soit $(E,\|.\|)$ un espace de Banach de dimension infinie.
--Par l'axiome du choix, on "construit" une forme linéaire non continue $\phi$.
On peut procéder de la façon suivante : on prend une base algébrique normée de $E$ : notée $(e_{i})_{i\in I}$
(petite remarque : par le théorème de Baire, $I$ n'est pas dénombrable).
On sélectionne $J\approx \mathbb{N}^{*}\subset I$ dénombrable et on définit $\phi$ de la manière suivante :
si $x\in E$ alors il existe $I(x)$ fini et inclus dans $I,$ minimal pour l'inclusion ainsi que des coefficient tous non nuls $(\lambda_{i})_{i\in I(x)}$ (on note alors $\displaystyle I(x)\cap J=\{j_{1},\ldots,j_{k}\}$) tels que $$x=\sum_{j\in I(x)\cap J}\lambda_{j}e_{j}+\sum_{i\in I(x)\cap\left(I\setminus J\right)}\lambda_{i}e_{i}$$ et on définit $$\phi(x)=\sum_{i=1}^{k}j_{i}\lambda_{j_{i}}+\sum_{j\in I(x)\cap\left(I\setminus J\right)}\lambda_{j}.$$
Il est alors facile de vérifier que $\phi$ n'est pas continue pour $\|.\|.$
--On a alors que $E$ est en somme directe du noyau $H$ de $\phi$ et d'un vecteur $e$ n'appartenant pas à $H$ (on peut supposer alors que $\phi(e)=1$).
L'application linéaire : $\psi : (E,\|.\|) \rightarrow (E,\|.\|)$ définie par $\psi(x)=x+\phi(x)e$ est bijective :
-pour l'injectivité, on prend l'image par $\phi$ d'un vecteur vérifiant $\psi(x)=0$ et on conclut rapidement.
-pour la surjectivité, on traite séparément les cas $x\in H$ et $x\in\mbox{Vect}(e).$ On conclut rapidement également.
--Cette application $\psi$ ne peut pas être continue car alors, $\phi$ serait continue pour $\|.\|$
BobbyJoe : il ne faut pas s'inquiéter du théorème d'isomorphisme de Banach, il suffit qu'elles soient non équivalentes (effectivement il implique que si elles sont non équivalentes et complètes alors elles seront non comparables). Tu as raison par contre que j'aurais dû préciser que ça doit être des normes complètes.
On peut aussi modifier l'exemple précédent de la manière suivante.
On considère $\psi$ une application linéaire inversible et non continue de $E$ dans $E$ (par exemple, donnée dans la réponse précédente).
Alors, $E$ muni de la norme $\|.\|_{1}$ définie par : si $x\in E,$ $\|x\|_{1}=\|\psi(x)\|$ devient un espace de Banach.
Cependant, les deux normes $\|.\|$ et $\|.\|_{1}$ ne sont pas équivalentes (et même non comparables dans un sens ou un autre), ce qui s'exprime aussi en disant que l'identité de $(E,\|.\|)$ vers $(E,\|.\|_{1})$ n'est pas continue (bien que bijective!).
Réponses
Pour trouver des normes non équivalentes tu peux regarder du côté des normes sur $C^0([0,1],\R)$
**Bon, voilà une façon générique de procéder!
Soit $(E,\|.\|)$ un espace de Banach de dimension infinie.
--Par l'axiome du choix, on "construit" une forme linéaire non continue $\phi$.
On peut procéder de la façon suivante : on prend une base algébrique normée de $E$ : notée $(e_{i})_{i\in I}$
(petite remarque : par le théorème de Baire, $I$ n'est pas dénombrable).
On sélectionne $J\approx \mathbb{N}^{*}\subset I$ dénombrable et on définit $\phi$ de la manière suivante :
si $x\in E$ alors il existe $I(x)$ fini et inclus dans $I,$ minimal pour l'inclusion ainsi que des coefficient tous non nuls $(\lambda_{i})_{i\in I(x)}$ (on note alors $\displaystyle I(x)\cap J=\{j_{1},\ldots,j_{k}\}$) tels que $$x=\sum_{j\in I(x)\cap J}\lambda_{j}e_{j}+\sum_{i\in I(x)\cap\left(I\setminus J\right)}\lambda_{i}e_{i}$$ et on définit $$\phi(x)=\sum_{i=1}^{k}j_{i}\lambda_{j_{i}}+\sum_{j\in I(x)\cap\left(I\setminus J\right)}\lambda_{j}.$$
Il est alors facile de vérifier que $\phi$ n'est pas continue pour $\|.\|.$
--On a alors que $E$ est en somme directe du noyau $H$ de $\phi$ et d'un vecteur $e$ n'appartenant pas à $H$ (on peut supposer alors que $\phi(e)=1$).
L'application linéaire : $\psi : (E,\|.\|) \rightarrow (E,\|.\|)$ définie par $\psi(x)=x+\phi(x)e$ est bijective :
-pour l'injectivité, on prend l'image par $\phi$ d'un vecteur vérifiant $\psi(x)=0$ et on conclut rapidement.
-pour la surjectivité, on traite séparément les cas $x\in H$ et $x\in\mbox{Vect}(e).$ On conclut rapidement également.
--Cette application $\psi$ ne peut pas être continue car alors, $\phi$ serait continue pour $\|.\|$
On considère $\psi$ une application linéaire inversible et non continue de $E$ dans $E$ (par exemple, donnée dans la réponse précédente).
Alors, $E$ muni de la norme $\|.\|_{1}$ définie par : si $x\in E,$ $\|x\|_{1}=\|\psi(x)\|$ devient un espace de Banach.
Cependant, les deux normes $\|.\|$ et $\|.\|_{1}$ ne sont pas équivalentes (et même non comparables dans un sens ou un autre), ce qui s'exprime aussi en disant que l'identité de $(E,\|.\|)$ vers $(E,\|.\|_{1})$ n'est pas continue (bien que bijective!).