Simple connexité
Réponses
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Soit $U= \C - \{0\}$, alors $U$ est un ouvert qui n'est pas simplement connexe, et pourtant son complémentaire $\{0\}$ est connexe. Il faut sans doute se restreindre aux ouverts bornés.
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De même, si $U=\{x+iy ~|~x,y\in \R, -1<x<1\}$, alors $U$ est simplement connexe, mais son complémentaire n'est pas connexe.
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Un ouvert de $\mathbb{C}$ est simplement connexe si et seulement si les composantes connexes du complémentaire sont non bornées.
Peut-être que c'est ce résultat que tu avais en tête ?...
(edit) Ou de manière équivalente $S^2\setminus U$ est connexe.
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