Question sur des définitions

PolVano
PolVano
dans Topologie
Bonsoir.
J'aimerais connaître comment faut-il poser une définition en mathématiques. Par exemple, j'ai vu dans un cours de topologie que dans la définition de la norme il y a $N(0)=0$. Mais je pense que c'est une conséquence de l'homogénéité puisque par exemple $N(0)=N(2.0)=2.N(0)$ et donc $N(0)=0$. Et j'ai aussi vu dans un cours sur les espaces préhilbertiens que dans la définition de produit scalaire on imposait $(0\mid 0)=0$ mais c'est aussi une conséquence de la bilinéarité puisque $(0\mid 0)=(2.0\mid 0)=2(0\mid 0)$.
Ce sont de simples détails mais j'aimerais savoir comment faut-il exposer une définition ?

Je n'ai pas trouvé de catégories dans le forum pour poster mon message mais comme les exemples que j'ai en tête relèvent de topologie (bon pour le produit scalaire peut être non...) je me permets de poster ici.

Merci par avance pour vos réponses.

Réponses

  • AD
    AD
    Comment fait-on si on est sur un corps de caractéristique 2 ? :-D
    Alain
  • Math Coss
    Math Coss
    Tant que la définition reste cohérente, je ne vois pas vraiment de raison de chercher une formulation minimale.
  • Poirot
    Poirot
    Je ne pense même pas que l'on puisse raisonnablement donner un sens à "formule minimale", si ce n'est une formule qui utilise un nombre minimal de symbole dans le langage de la théorie des ensembles (et attention, les abréviations du style $\mathbb R$ c'est triché !).
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Je pense qu’il ne faut pas chercher à en dire le moins possible, mais exposer les caractéristiques principales des objets que l’on définit. Par exemple pour les groupes je sais que c’est redondant mais bon, c’est plus clair comme c’est. Après si tu as des convictions écologiques libre à toi d’écrire le moins de propriétés possibles ;-)
  • PolVano
    PolVano
    Bonjour.

    Merci pour vos réponses !

    @AD je n'ai encore jamais vu de topologie avec un corps autre que celui des réels ou des complexes, et dans ce cas on devrait ajouter N(0)=0 je pense. Enfin, je n'ai pas le recul pour savoir ce qu'impacterait le fait de ne pas avoir N(0)=0 comme axiome ou comme conséquence mais bon.
  • Héhéhé
    Héhéhé
    C'est assez classique de ne pas donner les axiomes les plus minimaux, car il est parfois utile de mettre en avant des propriétés, ou de les rendre plus claires.

    Un exemple célèbre est le fait que dans un espace vectoriel, on a $u+v=v+u$. On le met dans les axiomes parce que c'est fondamental, que ça justifie le fait d'utiliser la notation +, que cela permet de faire le lien avec les axiomes des groupes abéliens, etc. Pourtant, on a d'une part $$
    (1+1)(u+v)= 1(u+v)+1(u+v) = u+(v+u)+v
    $$ et $$
    (1+1)(u+v) = (1+1)u+(1+1)v=2u+2v=u+(u+v)+v,
    $$ donc en simplifiant à gauche par $u$ et à droite par $v$, on obtient $u+v=v+u$. On peut donc déduire la commutativité des autres axiomes.

    Il y a des exemples comme ça dans toutes les branches des maths (y compris en logique).
  • christophe c
    christophe c
    Un axiome ou une definition n'ont strictement aucune raison de ne pas être redondant. Si c'était le cas, il n'y aurait pas de maths puisque tout théorème peut s'écrire sous forme d'une équivalence.

    Dans la definition du mot rectangle par exemple c'est 4 angles droits (et non pas 3; voire 1 quand ..)

    Exercice: prouve que tout théorème de science peut s'écrire sous la forme "A<=>B".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Dom
    Dom
    Pour l’homogénéité :
    $N(0_E)=N(0_K\times 0_E)=|0_K| N(0_E)=0_K$

    Non ? Suis-je encore affaibli par l’éthanol d’hier soir ?
  • PolVano
    PolVano
    Bonjour.

    @christophe c je ne suis pas avancé en logique et du coup pour ton exercice je doute que je puisse le faire...

    @DOM je pense que vous avez raison. Je n'y avais pas pensé.
  • Math Coss
    Math Coss
    Pour l'exercice, prenons un théorème de science, disons B, et notons A l'assertion « 1=1 ». Alors, me semble-t-il, B est équivalent à « A <=> B ».
  • Dom
    Dom
    En fait, en caractéristique $2$, $2=0$ et donc c’est ce que tu avais proposé finalement.
  • PolVano
    PolVano
    @Math Coss vous avez raisonné en terme de "vérité" ?
  • christophe c
    christophe c
    Je ne vois en quoi Math Coss "aurait raisonné en terme de vérité" comme tu dis.

    N'es-tu pas d'accord que $A$ si et seulement si $((1=1)\iff A)$?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Dom
    Dom
    Je comprends cela avec des "Vrai/Faux".
    1=1 est une manière de dire "Vrai".
    Puis qu'on a [small](toujours)[/small] "Faux => Vrai", par exemple.

    C'est dans ce sens là que je comprends "raisonner en terme de vérité".
  • christophe c
    christophe c
    Pourquoi pas mettre ce nom-là (comme on pourrait dire "chanter sans fleur" tout aussi bien)? Mais rend-ce non évident ce qu'a écrit MCoss?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Math Coss
    Math Coss
    Une table de vérité s'impose ! \[\begin{array}{c|c||c}B&1=1&(1=1)\Leftrightarrow B\\\hline
    V&V&V\\F&V&F\\\hline\end{array}\]On constate que les assertions $B$ d'une part et $(1=1)\Leftrightarrow B$ d'autre part ont les mêmes valeurs de vérité : elles sont donc équivalentes. CQFD, QED et tout ce qui s'ensuit.

    Où est la prochaine porte ouverte, que je la défonce ?
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