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Ouvert comme réunion d'intervalles ouverts

Envoyé par PolVano 
Ouvert comme réunion d'intervalles ouverts
il y a dix mois
Bonjour.

J'ai vu que tout ouvert de $\mathbb{R}$ est une réunion dénombrable d'intervalles ouverts. Et pour ce qui est de la démonstration, j'ai vu qu'on écrit cet ouvert (notons le $U$) comme réunion des intervalles $]a,b[$ contenus dans $U$ où $a$ et $b$ sont rationnels.

Je vois bien pourquoi la réunion de ces intervalles ouverts est égale à $U$ mais je ne comprends pas pourquoi c'est une réunion dénombrable. J'essaye de montrer qu'elle est en bijection avec $\mathbb{Q}^{2}$ mais je n'y arrive pas.

J'espère que vous pourrez me suggérer de nouvelles pistes ou me guider dans ce que j'essaye de faire.

Merci d'avance.
Re: Ouvert comme réunion d'intervalles ouverts
il y a dix mois
Il suffit d'associer à l'intervalle $]a,b[$ le couple $(a,b) \in \mathbb Q^2$. L'application en question est injective à valeurs dans un ensemble dénombrable, l'ensemble de départ est donc dénombrable.
Re: Ouvert comme réunion d'intervalles ouverts
il y a dix mois
Merci pour votre aide.
Re: Ouvert comme réunion d'intervalles ouverts
il y a dix mois
avatar
Autre approche.
À tout $x \in U$ on associe le plus grand intervalle ouvert $J_x$ contenant $x$ et contenu dans $U$. Ces intervalles sont deux à deux disjoints et forment une partition de $U$, soit $(I_{\lambda})_{\lambda \in W}$ (ce sont les composantes connexes de l'ouvert $U$, mais peu importe).
Chacun des intervalles $I_{\lambda}$ contient un rationnel, ce qui permet de définir une application injective de $W$ dans $\mathbb Q$, et il s'ensuit que $W$ est dénombrable.
Bonne soirée.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par Chaurien.
Re: Ouvert comme réunion d'intervalles ouverts
il y a dix mois
Ces intervalles peuvent être non bornés mais on ne peut pas les ordonner en général.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par AitJoseph.
Re: Ouvert comme réunion d'intervalles ouverts
il y a dix mois
Comme le dit Poirot, l'ensemble des intervalles dont les extrémités sont dans $\Q\cup \{-\infty; +\infty\}$ est dénombrable.

Mais the question is: t'en rends-tu compte? Peux-tu le prouver?

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