Intersection d'espaces localement compacts

topopot
topopot
dans Topologie
Bonjour
J'arrive à montrer qu'une intersection finie non vide d'espaces localement compacts est localement compacte. Toutefois, je ne trouve pas d'exemple d'intersection infinie d'espaces localement compacts qui n'est pas localement compacte. En auriez-vous un ?

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    L'intersection des ouverts $\{ x >0 \text{ ou } x^2+y^2 <\epsilon\}$ pour $\epsilon >0$, dans le plan des $x,y$.
  • Tryss
    Tryss
    Un autre exemple :

    Soit $E_r = \mathbb{R} \setminus \{ r\} $. $E_r$ est localement compact pour tout $r \in \mathbb{R}$

    On a alors

    $\bigcap_{r\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} } E_r = \mathbb{Q}$, qui n'est pas localement compact.

    Edit : bien entendu, tout ça pour la topologie usuelle.

    Edit 2 : corrigé quelques coquilles ^^
  • topopot
    topopot
    Merci !

    @Tryss : tu veux dire que $E_r$ est localement compact (car n'étant pas borné, il n'est pas compact dans $\R$).
  • christophe c
    christophe c
    Oui il a oublié c'est une coquille.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • topopot
    topopot
    Et dans l'intersection, c'est $r\in\R\setminus\Q$ je suppose non ?
  • topopot
    topopot
    Et pour un produit infini d'espaces localement compacts qui n'est pas localement compact ?

    Edit : apparemment c'est le cas de $\R^{\N}$ mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'est pas localement compact.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    S'il était localement compact, il y aurait des ouverts élémentaires d'adhérence compact. Disons le produit des $U_i$ avec au plus finiment beaucoup qui ne sont pas $\R$. Son adhérence est le produit des adhérences ses $U_i$ (facile à voir), qui n'est pas compact puisqu'il se projette sur $\R$.

    En fait si je ne m'abuse, un produit d'espaces localement compacts non vides est localement compact si et seulement si au plus un nombre fini d'entre eux n'est pas compact.
  • christophe c
    christophe c
    D'accord avec cette affirmation.

    En fait si un produit d'espaces quelconques est loc.compact alors seulement un nombre fini d'entre eux sont non compacts . La locale compacité n'intervient pas pour ce sens.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • topopot
    topopot
    Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 6

OShine +5 Invités