Bonjour
J'arrive à montrer qu'une intersection finie non vide d'espaces localement compacts est localement compacte. Toutefois, je ne trouve pas d'exemple d'intersection infinie d'espaces localement compacts qui n'est pas localement compacte. En auriez-vous un ?
Réponses
Soit $E_r = \mathbb{R} \setminus \{ r\} $. $E_r$ est localement compact pour tout $r \in \mathbb{R}$
On a alors
$\bigcap_{r\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} } E_r = \mathbb{Q}$, qui n'est pas localement compact.
Edit : bien entendu, tout ça pour la topologie usuelle.
Edit 2 : corrigé quelques coquilles ^^
@Tryss : tu veux dire que $E_r$ est localement compact (car n'étant pas borné, il n'est pas compact dans $\R$).
Edit : apparemment c'est le cas de $\R^{\N}$ mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'est pas localement compact.
En fait si je ne m'abuse, un produit d'espaces localement compacts non vides est localement compact si et seulement si au plus un nombre fini d'entre eux n'est pas compact.
En fait si un produit d'espaces quelconques est loc.compact alors seulement un nombre fini d'entre eux sont non compacts . La locale compacité n'intervient pas pour ce sens.