Compactifié

topopot
topopot
dans Topologie
Bonjour,

Soit $X$ un espace topologique. On appelle compactifié de $X$ tout espace topologique $Y$ vérifiant les assertions C0) à C3) :
C0) $X\subset Y$.
C1) La topologie de $X$ coïncide avec la topologie induite par celle de $Y$ sur $X$.
C2) $Y$ est compact.
C3) $\mathrm{Adh}_Y(X)=Y$.
Si de plus, $\mathrm{card}(Y\setminus X)=1$ alors on dit que $Y$ est un compactifié d'Alexandroff de $X$.

Je sais que tout espace localement compact admet un compactifié d'Alexandroff. Ma question est la suivante : auriez-vous un exemple d'espace topologique n'admettant aucun compactifié (par forcément d'Alexandroff) ? Nécessairement, ce dernier ne doit pas être localement compact.

Edit : coquille dans C1).

Réponses

  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je viens de trouver ça.

    Lis juste les 2 premières lignes.
  • topopot
    topopot
    Merci !
  • Homo Topi
    Homo Topi
    (Après, je n'ai aucune idée de pourquoi c'est vrai. Je sais juste bien utiliser Google :-D )

    On peut y réfléchir. Si ça te paraît évident, j'aimerais bien savoir pourquoi.
  • topopot
    topopot
    Ahah ça ne me paraît pas du tout évident, je cherche aussi :)o
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je trouve une définition légèrement plus utilisable (je pense, en tout cas) du compactifié d'un espace topologique $X$.

    Un compactifié de $X$, c'est la donnée d'un espace compact $Y$ et d'une application $f : X \longrightarrow Y$, tels que
    - la corestriction de $f$ à $f(X) \subseteq Y$ soit un homéomorphisme ($f(X)$ étant bien sûr muni de la topologie induite par celle de $Y$)
    - $f(X)$ soit dense dans $Y$

    EDIT : la dernière phrase de ce paragraphe devrait nous aider.
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone. Coquille dans C1

    Ensuite il y a des conditions nécessaires: un compact est uniformisable donc ses parties aussi.

    La bonne notion consiste à mettre une certaine relation d'équivalence qui identifiera certains éléments de X.

    Cependant comme je l'ai souvent dit dur le forum, le compactifie de n'importe quel espace est l'adhérence de l'ensemble des j(a) quand a parcourt X où j va de X dans P et où P est le produit des K quand (f,K) parcourt les couples où f est une continue de X dans K et K compact.

    Évidemment ça se récupère "légalement" par des ultrafiltres À POSTERIORI. Et c'est j ton objet fetiche que tu dois caresser et cajoler avec amour (ma remarque initiale étant qu'il n'est pas forcément injectif.

    j(a)(f) := f(a) pour tout a,f
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    D'un pc, je t'ajoute quelques remarques:

    1/ ce n'est pas "évidemment" parce que $X$ a un compactifié d'Alexandrov que son compactifié au sens où je l'ai défini ci-dessus (compactifié de Stones-Cech) va être Alexandrovique.

    2/ En regardant l'image directe de $X$ par $j$, tu obtiens la relation d'équivalence que j'ai évoquée via $x==y$ def par $j(x)=j(y)$.

    3/ Il n'y a pas non plus d'évidence à dire que si $X\subset Y$, $Y$ compact, $X$ dense dans $Y$ alors "ça va". Il reste a priori à vérifier que la prolongation de $f: X\to K$ à une $g: Y\to K$ est possible dans tous les cas et que $f$ ne s'amuse pas à envoyer tous azimuts ses images.

    Bref, en espérant t'avoir fourni des sujets d'étude confortables.
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  • Maxtimax
    Maxtimax
    Christophe : le compactifié d'Alexandrov n'a pas le même objectif /rôle que celui de Stone-Cech, je serais d'ailleurs étonné qu'il y ait beaucoup de cas où ils coïncident.
    En particulier ton point 3/ (spécifiquement le "il reste à vérifier") n'est pas pertinent car on ne cherche pas forcément à obtenir cette propriété pour un compactifié (si c'était le cas on n'aurait que celui de Stone-Cech, justement, et on n'aurait pas toute la tripotée de compactifiés qu'on connait).
    Le compactifié d'Alexandrov a une autre propriété universelle par exemple (qui est, comme tu le sais sans doute, que si $f$ a une limite "en $+\infty$" alors on peut la prolonger uniquement audit compactifié - en tout cas pour les localement compacts)
  • christophe c
    christophe c
    @max, en fait, je répondais aux sous-entendus possibles. On est d'accord évidemment sur les faits.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    @max: je ne connais pas "par cœur" la propriété universelle du mot "compactifié d'Alexandrov", mais j'imagine que wikipedia la donne et je crois me rappeler que GBZM l'avait donnée dans ce genre de discussion.

    Du coup je donne celle du Stones Cech (évidente par définition (avec la def que j'ai rappelée)): c'est un couple $(j,F)$ où $j$ continue de $E$ vers $F$ et $F$ compact tel que pour toute $f$ continue de $E$ dans un compact $G$, il existe une unique $g$ continue de $F$ dans $G$ telle que $f=g\circ j$.

    Pour Alexandrov, je ne sais pas, il faudrait que j'y réfléchisse, mais ça détend de réfléchir à des trucs comme ça :-D , donc je vais "y réfléchir".

    Cependant attention : la construction que je donne a un sens pour tout espace topologique. Idem Alexandrov peut être "infligé" à tout espace.

    Il est donc important pour le lecteurs de bien différencier ces définitions qui ont un sens, et le fait qu'elles donnent "ce qui est attendu" dans "bcp de cas, mais pas tous". Autrement dit, il y a les énoncés qui vont avec, et en sont indépendants.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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