Banach et espace des fonctions bornées
dans Topologie
Bonjour,
Je dois montrer la proposition suivante :
Si $X \ne \emptyset$ alors $(B(X,E), || \cdot ||_{\infty})$ est de Banach $\Leftrightarrow (E, || \cdot ||_{E})$ est de Banach.
Le professeur a montré dans le sens $\Leftarrow$ mais pas dans le sens $\Rightarrow$.
J'ai essayé de montrer mais je reste très vite bloquée.
Voici mon raisonnement :
Puisque par définition, un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet, je dois montrer que
1) $E$ est un espace vectoriel normé (pour ça, je pense que c'est jouable).
2) Toute suite de Cauchy dans $E$ est convergente (j'ai plutôt du mal à montrer ce point-ci).
Et j'ai par hypothèse que toute suite de fonctions $(f_n)_n$ de Cauchy dans $(B(X,E)$ est convergente. Donc pour tout $\epsilon > 0,$
$\exists \ N_1 \in \mathbb{N}, \forall m, l \ge N_1, || f_m - f_l ||_{\infty} \le \epsilon$ et
$\exists \ N_2 \in \mathbb{N}, \forall n \ge N_2, || f_n(x) - f(x) ||_{\infty} \le \epsilon$.
Donc pour $x$ fixé, on a $f(x)$ qui est la limite de la suite $(f_n(x))_n$.
Soit $(u_k)_k$ une suite de Cauchy dans $E$. Donc pour tout $\epsilon > 0,$
$\exists \ K \in \mathbb{N}, \forall v, w \ge K, || u_v - u_w ||_{E} \le \epsilon$.
Et là, je suis bloqué. Est-ce que je peux définir la fonction $f_n$ telle que $f_n(x) = u_k$ ?
Merci d'avance,
Je dois montrer la proposition suivante :
Si $X \ne \emptyset$ alors $(B(X,E), || \cdot ||_{\infty})$ est de Banach $\Leftrightarrow (E, || \cdot ||_{E})$ est de Banach.
Le professeur a montré dans le sens $\Leftarrow$ mais pas dans le sens $\Rightarrow$.
J'ai essayé de montrer mais je reste très vite bloquée.
Voici mon raisonnement :
Puisque par définition, un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet, je dois montrer que
1) $E$ est un espace vectoriel normé (pour ça, je pense que c'est jouable).
2) Toute suite de Cauchy dans $E$ est convergente (j'ai plutôt du mal à montrer ce point-ci).
Et j'ai par hypothèse que toute suite de fonctions $(f_n)_n$ de Cauchy dans $(B(X,E)$ est convergente. Donc pour tout $\epsilon > 0,$
$\exists \ N_1 \in \mathbb{N}, \forall m, l \ge N_1, || f_m - f_l ||_{\infty} \le \epsilon$ et
$\exists \ N_2 \in \mathbb{N}, \forall n \ge N_2, || f_n(x) - f(x) ||_{\infty} \le \epsilon$.
Donc pour $x$ fixé, on a $f(x)$ qui est la limite de la suite $(f_n(x))_n$.
Soit $(u_k)_k$ une suite de Cauchy dans $E$. Donc pour tout $\epsilon > 0,$
$\exists \ K \in \mathbb{N}, \forall v, w \ge K, || u_v - u_w ||_{E} \le \epsilon$.
Et là, je suis bloqué. Est-ce que je peux définir la fonction $f_n$ telle que $f_n(x) = u_k$ ?
Merci d'avance,
Réponses
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Bonsoir,
Ton 1) est bizarre car toutes les notations de ton énoncé reposent déjà toutes sur le fait que $\|\cdot\|_E$ est une norme sur $E$. Vérifie ton énoncé, mais a priori c'était une hypothèse.
Pour le 2), tu peux associer à tout élément $a \in E$ une fonction $f_a \in B(X,E)$ telle que $\|a\|_E = \|f_a\|_{\infty}$. Vois-tu comment ? Ceci te donnera un moyen de passer d'une suite de Cauchy dans $E$ à une suite de Cauchy dans $B(X,E)$, puis d'en déduire la convergence dans $E$. -
@Siméon
1) Le prof a commencé par définir ceci : Soit $X$ un ensemble et $E$ un espace vectoriel normé, $B(X,E)= \{ f : X \to E$ telle que $f$ est bornée sur $X \}$. Pour $f \in B(X,E)$, on pose $|| f||_{\infty} \: = \sup_{x\in X} || f(x)||_E$. Et en cours, nous avons montré que $|| \cdot ||_{\infty}$ est une norme donc je me suis permis de l'utiliser ici...
2) Non, je ne vois pas comment on peut définir une fonction $f_a \in B(X,E)$ telle que $\|a\|_E = \|f_a\|_{\infty}$.
Admettons que oui, alors soient $f_a$ et $f_b \in B(X,E)$, on a $\|f_a-f_b\|_{\infty} = \|a-b\|_E$ mais qui nous dit que cette fonction que j'ai définie est de Cauchy ? -
Miniportecle a écrit:Non, je ne vois pas comment on peut définir une fonction $f_a \in B(X,E)$ telle que $\|a\|_E =\|f_a\|_{\infty}$.
et est-ce que la fonction constante égale à $a$ sur $X$ entier convient par hasard ? -
@raoul.S
Mais je dois bien montrer pour toute suite de Cauchy. Si ça fonctionne pour la suite constante dans $E$, rien ne me dit que cela fonctionnera pour les autres suites de Cauchy. -
Soit $(u_k)_k$ une suite de Cauchy dans $E$. Pour tout $k \geq 0$, on définit la fonction $f_k : x \mapsto u_k$ de $X$ dans $E$. Peux-tu montrer que la suite $(f_k)_k$ est de Cauchy dans $(B(X,E), || \cdot ||_{\infty})$ ?
-
@Poirot
Non, désolé... Le prof n'a donné que la définition ci-dessus pour l'espace de Banach. Rien d'autre comme propriétés... -
Mais enfin, tu connais la définition des suites de Cauchy quand même ? Tu as juste à écrire ce que ça veut dire, et être capable de calculer $||f_k-f_n||_{\infty}$.
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