Banach et espace des fonctions bornées

Bonjour,

Je dois montrer la proposition suivante :
Si $X \ne \emptyset$ alors $(B(X,E), || \cdot ||_{\infty})$ est de Banach $\Leftrightarrow (E, || \cdot ||_{E})$ est de Banach.
Le professeur a montré dans le sens $\Leftarrow$ mais pas dans le sens $\Rightarrow$.
J'ai essayé de montrer mais je reste très vite bloquée.

Voici mon raisonnement :
Puisque par définition, un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet, je dois montrer que
1) $E$ est un espace vectoriel normé (pour ça, je pense que c'est jouable).
2) Toute suite de Cauchy dans $E$ est convergente (j'ai plutôt du mal à montrer ce point-ci).

Et j'ai par hypothèse que toute suite de fonctions $(f_n)_n$ de Cauchy dans $(B(X,E)$ est convergente. Donc pour tout $\epsilon > 0,$
$\exists \ N_1 \in \mathbb{N}, \forall m, l \ge N_1, || f_m - f_l ||_{\infty} \le \epsilon$ et
$\exists \ N_2 \in \mathbb{N}, \forall n \ge N_2, || f_n(x) - f(x) ||_{\infty} \le \epsilon$.
Donc pour $x$ fixé, on a $f(x)$ qui est la limite de la suite $(f_n(x))_n$.

Soit $(u_k)_k$ une suite de Cauchy dans $E$. Donc pour tout $\epsilon > 0,$
$\exists \ K \in \mathbb{N}, \forall v, w \ge K, || u_v - u_w ||_{E} \le \epsilon$.

Et là, je suis bloqué. Est-ce que je peux définir la fonction $f_n$ telle que $f_n(x) = u_k$ ?

Merci d'avance,