Caractérisation des fermés/compacité locale
Bonjour
J’ai vu une caractérisation des fermés dans un espace localement compact X qui est la suivante.
F est fermé si et seulement si pour tout compact de X, l’intersection de ce compact avec F est encore un compact.
L’implication de gauche à droite est facile, mais je n’ai pas réussi l’autre sens, si quelqu’un pouvait m’aider ce serait vraiment très apprécié !
(Notez qu’ici localement compact ne requiert pas d’être séparé, mais seulement que dans tout voisinage V d’un point x il existe un voisinage compact de x inclus dans V.)
Cordialement.
Edit: trompé de sens pour l’implication
J’ai vu une caractérisation des fermés dans un espace localement compact X qui est la suivante.
F est fermé si et seulement si pour tout compact de X, l’intersection de ce compact avec F est encore un compact.
L’implication de gauche à droite est facile, mais je n’ai pas réussi l’autre sens, si quelqu’un pouvait m’aider ce serait vraiment très apprécié !
(Notez qu’ici localement compact ne requiert pas d’être séparé, mais seulement que dans tout voisinage V d’un point x il existe un voisinage compact de x inclus dans V.)
Cordialement.
Edit: trompé de sens pour l’implication
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Réponses
Donc l'une des implications est fausses dans le cas non séparé. Inversement un fermé d'un compact est toujours compact , qu'on soit séparé ou non donc l'autre inplication est évidente.
[Felix Hausdorff (1868-1942) prend toujours une majuscule. AD]