Caractérisation des fermés/compacité locale

Bonjour
J’ai vu une caractérisation des fermés dans un espace localement compact X qui est la suivante.

F est fermé si et seulement si pour tout compact de X, l’intersection de ce compact avec F est encore un compact.
L’implication de gauche à droite est facile, mais je n’ai pas réussi l’autre sens, si quelqu’un pouvait m’aider ce serait vraiment très apprécié !

(Notez qu’ici localement compact ne requiert pas d’être séparé, mais seulement que dans tout voisinage V d’un point x il existe un voisinage compact de x inclus dans V.)
Cordialement.

Edit: trompé de sens pour l’implication