Compacité et espace métrique

Bonsoir, j'ai l'exercice ci joint, j';essaye de le résoudre,

pour la question 1: Soit $(x_n)\subset F$ convergente vers x pour la distance $d_1$, par hypothèse $(x_n)$ converge vers x pour $d_2$ et comme $(E,d_2)$ est compact alors $F$ est compact donc $x\in F$ se qui montre que F est fermé dans $(E,d_1)$

est ce que c'est juste ?

pour la question 2): Soit $(F_{\lambda})$ une famille quelconque de fermés dans $(E,d_2)$ tel que $\bigcap_{\lambda\in \Lambda} F_{\lambda}=\emptyset$
D'après la question 1) la famille $(F_{\lambda})$ est fermé dans le compact $(E,d_1)$ donc on peut extraire une sous famille fini de fermé d'intersection vide donc $(E,d_2)$ est compact .

pour la 3eme j'ai un doute: F est un fermé dans le compact $(E,d_1)$ donc $(F,d_1)$ est compact et par la question2 $(F,d_2)$ est compact ce qui signifie que $F$ est fermé dans $(E,d_2)$.

Pour la conclusion , ils ont les memes fermés donc par passage au complémentaire ils ont les memes ouverts donc la meme topologie.

Dites moi s'il vous plait si c'est juste.

Merci