Je cherche des exemples

J'ai une démonstration du résultat suivant : soit $X$ un espace topologique et $\mathcal{A}$ une famille localement finie de $X$, et soit $Y = \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{A}}A$. Alors $\overline{Y} = \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{A}}\overline{A}$.

(Juste au cas où : $\overline{P}$ c'est l'adhérence de $P$, bien entendu)

Ensuite, il y a le résultat suivant : soit $X$ un espace régulier ($T_0/T_2$ et $T_3$, pour mettre tout le monde d'accord), ayant une base de topologie $\mathcal{B}$ dénombrablement localement finie : $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\mathcal{B}_n$ où chaque $\mathcal{B}_n$ est une famille localement finie de $X$. Le but est de prouver que $X$ est un espace normal (donc qu'il vérifie $T_4$, puisque $T_2$ nous est offert).

La première étape de la preuve consiste à prendre un ouvert $W$ de $X$, et de trouver une famille dénombrable d'ouverts $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $W = \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}}U_n = \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\overline{U}_n$.

Je n'ai pas de mal avec la preuve, mais l'égalité que je viens d'écrire me perturbe un peu. On parle d'une réunion dénombrable d'ouverts qui est égale à la réunion de leurs adhérences. Ça me perturbe.

Je pense qu'en prenant $W=X=\mathbb{R}$, on peut bricoler une famille dénombrable d'ouverts qui vérifie $\mathbb{R} = \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}}U_n = \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\overline{U}_n$.

Ce que j'aimerais, c'est...

1) Des exemples "non triviaux" d'espaces réguliers (je vous vois venir, avec vos topologies extrêmes)

2) Dans n'importe quoi comme espace, des exemples non triviaux/non pathologiques de familles dénombrables d'ouverts qui vérifient $\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}}U_n = \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\overline{U}_n$.