Espace quotient d’un sous-espace

Un ouvert de $A/R_A$ est un $U\subset A/R_A$ dont le $q^{-1}$ est ouvert dans $A$, donc tel qu'il existe $V\subset X$ ouvert avec $q_A^{-1}(U) = V\cap A$.

Un ouvert de $q(A)$ c'est quelqu'un de la forme $W\cap q(A)$, $W$ ouvert dans $X/R$.

A-t-on une inclusion dans un sens ou dans l'autre ? Plus facile de réfléchir en termes de propriétés universelles :

On a une application continue composée $f: A\to X\to X/R$, de plus clairement si $xR_A y$, alors $f(x) = f(y)$, donc $f$ passe au quotient (propriété universelle), on a donc une application continue $A/R_A \to X/R$. On inspecte rapidement, et on voit que l'image est précisément $q(A)$ et qu'au niveau ensembliste c'est $a\mapsto a$.

Donc tout ouvert de $q(A)$ est un ouvert de $A/R_A$. La réciproque va être plus compliquée. Essayons de voir où la preuve naïve échoue :

Je prends $U\subset A/R_A$, tel que $q_A^{-1}(U) = V\cap A$. Je voudrais alors dire $U= q(q_A^{-1}(U)) = q(V\cap A) = q(V)\cap q(A)$, $q(V)$ est ouvert, donc c'est bon.
Deux problèmes ici : $q(V\cap A)$ n'est pas forcément égal à $q(V)\cap q(A)$ : en particulier, $q(V\cap A)$ est beaucoup trop petit lorsque $A$ n'est vraiment pas saturé; et deuxièmement $q(V)$ n'est pas forcément ouvert ($q^{-1}(q(V))$ pourrait être différent de $V$ et pas ouvert).

Il y a donc deux soucis et on peut essayer de jouer là dessus pour trouver des contrexemples.

Par exemple, prenons $X$ le compactifié à un point de $\mathbb N$, on appelle $\infty$ le point en plus. Je prends $A= \mathbb N$, et $R$ la relation qui dit que les impairs sont égaux à $\infty$ et rien de plus.

Alors clairement $A/R_A$ a la topologie discrète en tant que quotient d'un espace discret, pourtant $q(A)=X/R$ (et oui, $\infty$ est dans l'image de $A$ modulo $R$ !) n'a pas la topologie discrète : soit en effet $U$ un ouvert qui contient les impairs/$\infty$ : son image inverse est un ouvert contenant $\infty$, donc il contient plein de pairs : en particulier $U$ contient des pairs, et la topologie n'est pas discrète.