Dimension métrique d'un précompact

Polux1704@ · October 2019

Bonjour à tous.
En TD de mathématiques nous avons parlé de la dimension métrique d'un espace précompact X (contenu dans un espace métrique). En notant N(X, a) le cardinal minimum d'un a-réseau de X, on a défini cette dimension comme étant la limite du quotient de ln(N(X, a)) et de ln(1/a).
On a ensuite expliqué que si cette limite n'existait pas, on pouvait tout de même définir la dimension inférieure et la dimension supérieure de X en considérant les limites supérieures et inférieures de ce quotient.
Je me demande donc si il existe une partie de R (que j'appelle A) qui n'admet pas de dimension métrique (au sens où sa dimension métrique supérieure n'est pas égale à sa dimension métrique inférieure).
Je n'ai pas réussi à trouver de telle partie de R, malheureusement, mais je pense avoir quelques pistes. Pour faire émerger un tel objet, il faut que le nombre de points que présente la partie A à une certaine échelle oscille (beaucoup) au fur et à mesure que l'on prenne une échelle de plus en plus fine. Ainsi, j'ai essayé de construire un objet en suivant l'algorithme de construction du Cantor, en le modifiant légèrement. Ainsi, je prend le segment [0 ; 1], et je le découpe en trois. Chaque segment obtenu est alors découpé en 9, et je ne conserve que 6 intervalle sur 9 obtenu dans ma découpe (à la manière de la construction du Cantor). Puis, chaque intervalle est divisé en 3, (je n'en conserve que 2 sur 3),puis je recommence en coupant les segments en 9, et ainsi de suite.
Je n'arrive pas à montrer que cette construction n'a pas de dimension métrique cependant.
Je m'en remets donc à votre aide pour trouver une telle partie de R, et montrer que l'ensemble que je propose a ou n'a pas de dimension métrique.

Merci beaucoup !

Georges Abitbol · October 2019

Mmmmh, et si tu faisais plutôt la chose suivante :

- on part d'un intervalle compact (étape $0$) ;
- à l'étape $n$, si $n$ est pair, on enlève les trois cinquièmes du milieu de chaque intervalle restant ;
- à l'étape $n$, si $n$ est impair, on enlève le cinquième du milieu de chaque intervalle restant.

Je n'aime pas les conjectures, alors je ne vais pas conjecturer que ce que je dis marche ; mais si je devais vraiment essayer de démontrer qu'une construction marche, je préférerais partir de la mienne. Mmmmmh, cela dit, peut-être que ta méthode est la même que la mienne (je n'ai pas trop compris la tienne). Je tenterai demain !

Polux1704@ · October 2019

Bonsoir, et merci beaucoup pour ta réponse !

Effectivement, c'était à peu près la construction de mon exemple (je reconnais que ce n'était pas très bien expliqué ...).
Finalement après avoir un peu cherché, j'ai bien l'impression que l'objet que tu proposes (tout comme le mien) à une dimension. En gros (je crois) que si tu regardes à l'échelle (1/5)^n, il y a soit 4^n points distinguables soit 3 fois 4^n points distinguables en fonction de la parité de n. Le problème c'est que en passant au ln, ce 3 se fait écraser lorsque l'on divise par n*ln(5) et la dimension paraît (je ne suis pas sûr par contre) être ln(4)/ln(5).

Bonne soirée.

Georges Abitbol · October 2019

Mmmmh, bon ben dans ce cas, à l'étape $n$,

- si $n$ est pair, on enlève les $n-2$ $n$-èmes du milieu ;
- si $n$ est impair, on enlève le $n$-ème du milieu.

Je n'ai pas eu le temps d'essayer de confirmer ou d'infirmer nos tentatives, encore, mais si ça ne marchait pas avant, ça a une chance de marcher maintenant !

Polux1704@ · October 2019

Bonjour,

Je n'ai pas encore pu étudier en détail votre exemple, mais j'ai trouvé un exemple où cette dimension n'est pas définie. La dimension métrique dont je parle s'appelle en fait dimension de Minkowski, et le dossier sur wikipedia fournit un ensemble dont la dimension de Minkowski n'est pas défini.
L'exemple en question : 91334