Une hypothèse inutile

john_john · October 2019

Chers forumeurs,
un collègue me signale l'exercice dont l'énoncé est joint (X09, mais aussi Cachan09) et me montre une preuve de la question $2$ n'utilisant pas l'hypothèse de fermeture du convexe. Nous nous sommes alors demandé par quels détours le colleur avait bien pu passer pour avoir besoin de cette hypothèse.

Voici donc mes questions.
1) Retrouver la preuve de mon collègue (en s'inspirant de la question $1$, alias Gauss-Lucas).
2) Imaginer une solution tordue nécessitant l'hypothèse de fermeture.

Cordialement, j__j

Nota bene : la capture d'écran n'est pas excellente ; dans la seconde question, il faut lire $P^{-1}(\omega)$, voire $P^{-1}(\{\omega\})$ si l'on veut lever toute ambiguïté. 90744

Corto · October 2019

Une idée :
Montrer que le résultat est vrai quand $K$ est un demi plan fermé, puis conclure dans le cas général (fermé) en invoquant qu'un convexe fermé est l'intersections des demi plans qui le contiennent ?

Mais ça ne me semble pas vraiment raisonnable.

Champ-Pot-Lion · October 2019

On peut montrer en s'inspirant de la question 1 que si $a$ et $b$ sont dans $\Omega$, alors $(a+b)/2$ aussi. Mais alors il faut la fermeture de $\Omega$ pour en déduire que $\Omega$ est convexe... ce qui peut se déduire de la fermeture de $K$. On peut déduire à partir du cas avec $K$ fermé le cas où ce n'est pas fermé (en le remplaçant par l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points), mais c'est une étape en plus... donc je n'ai pas la preuve de ton collègue...

john_john · October 2019

Bonjour à tous les deux,

j'avais pensé également à considérer, comme Corto, un convexe fermé comme intersection de demi-plans fermés, mais je n'ai pas vu en quoi cela simplifiait le problème et j'ai laissé tomber (au reste, un élève de Spé, fût-il admissible à l'X, est-il censé savoir cela ???). En revanche, cf Champ-Pol-Lion, en appliquant Gauss-Lucas à $(P(X)-a)\cdot(Q(X)-b)$, on établit effectivement que $(a+b)/2$ est dans l'ensemble considéré ; il reste à conclure en remarquant que le complémentaire est ouvert, du fait qu'un polynôme non constant est une application ouverte (ça, c'était un classique à l'époque, mais nous avions le thm d'inversion locale). Je pense que l'auteur du pb a pensé à l'astuce de Gauss-Lucas et a constaté que cela ne résout l'exo que dans le cas d'un convexe fermé...
Pour reconstituer la démo de mon collègue, inspirez-vous de Gauss-Lucas, mais avec une autre dérivée logarithmique. Ou plusieurs, qui sait ?

Cordialement, j__j

adrien2019 · October 2019

Bonsoir,

Il me semble que cet exercice est traité avec l’hypothèse de fermeture dans le premier volume de la nouvelle édition des exos corrigés X-ENS de Francinou, Gianella et Nicolas (éditions Cassini). Je n’ai pas le livre sur moi (je l’avais emprunté à une bibliothèque), mais si quelqu’un parmi vous le possède ça vaudrait peut-être le coup de jeter un coup d’oeil.

christophe c · October 2019

De mon téléphone en réaction à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1869870,1869870#msg-1869870

typiquement L2.

JJ l'auteur du fil n'a pas du tout envisagé l'hypothèse suivante qui me paraît pourtant à moi la plus probable.

L'auteur de la question de colle invente l'exo de tête et "assuré" une sécurité en ajoutant cette hypothèse. En effet, les colles servent à analyser la débrouillardise des candidats et il n'y a NULLEMENT BESOIN pour le correcteur d'avoir une solution en magasin.

C'edt même bien plus sain DE NE PAS AVOIR DE SOLUTION (du moment qu'on sait la chose faisable) afin d'éviter des biais de préférence.

Une hypothèse inutile

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