Barycentres et moyennes itérées

Bonjour,

Soit $(S,d)$ un espace métrique à courbure négative (global NPC space en anglais) et $x_1,\ldots,x_n\in S$, où $n$ est un entier strictement positif. On note $\bar x_n$ le barycentre des $x_i$, i.e., l’unique point $x$ de $S$ minimisant la fonction $\sum_{i=1}^n d(x,x_i)^2$. On définit aussi la suite des moyennes itérées de la manière suivante:
$m_1=x_1$ et, pour $k=2,\ldots,n$, $m_k$ est l’unique point $x\in S$ minimisant $\frac{k}{k+1}d(x,m_{k-1})^2+\frac{1}{k+1}d(x,x_k)^2$.

Il est clair (considérer des exemples simples où $S$ est un arbre et $d$ est la métrique naturellement engendrée par l’arbre) qu’en général, $m_n\neq \bar x_n$, contrairement au cas Euclidien. De plus, si on avait construit $m_n$ à partir d’une permutation des $x_i$, on obtiendrait un point différent. Ma question est la suivante: Existe-t-il une constante $C$, positive et ne dépendant que des caractéristiques de $(S,d)$, telle que
$$d(\bar x_n,m_n)\leq \frac{C\text{diam}(\{x_1,\ldots,x_n\})}{n} ?$$

Autrement dit, peu importe l’ordre dans lequel les $x_i$ sont considérés dans la construction de la moyenne itérée, on obtient quasiment le même résultat lorsque $n$ est grand, avec une erreur de l’ordre de $1/n$ si tous les points sont dans un ensemble borné.

Merci !
PS: pour ceux qui sont intéressés par le sujet, je tiens ma question de la lecture d’un papier que je trouve très interessant et très bien écrit, par Karl-Theodor Sturm, « Probability measures on metric spaces of no positive curvature »