Intérieur relatif de convexe et applications
Bonjour
Je joins l'énoncé de l'exercice suivant, extrait de "exercices pour l'agrégation tome 3 (algèbre)" : tout est clair hormis l'inclusion de $g^{-1} (ri(gK))) \subset K$ marquée d'une flèche (pour moi elle est fausse mais compte tenu du prestige des auteurs je ne suis pas catégorique)
Au plaisir de lire vos contributions et éclaircissement sur cette question, merci d'avance.
Je joins l'énoncé de l'exercice suivant, extrait de "exercices pour l'agrégation tome 3 (algèbre)" : tout est clair hormis l'inclusion de $g^{-1} (ri(gK))) \subset K$ marquée d'une flèche (pour moi elle est fausse mais compte tenu du prestige des auteurs je ne suis pas catégorique)
Au plaisir de lire vos contributions et éclaircissement sur cette question, merci d'avance.
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Réponses
Il se trouve que toute application linéaire surjective entre espaces vectoriels réels de dimension finie est ouverte (en jouant du théorème du rang et de l'équivalence des normes, on se place sur des bases $(b_1,...,b_p)$ de $E$ et $(c_1,...,c_q)$ de $F$ telles que $f(b_i)=c_i$ quand $i\leq q$ et $f(b_j)=0$ pour $q+1 \leq j \leq p$, et en mettant sur les epaces les normes infinies correspondantes, on a immédiatement le résultat).
Une inclusion est établie, comment obtenir l'autre ?
Je suis preneur de toute source bibliographique ou démonstration correcte