Intérieur relatif de convexe et applications

ludo'
ludo'
dans Topologie
Bonjour
Je joins l'énoncé de l'exercice suivant, extrait de "exercices pour l'agrégation tome 3 (algèbre)" : tout est clair hormis l'inclusion de $g^{-1} (ri(gK))) \subset K$ marquée d'une flèche (pour moi elle est fausse mais compte tenu du prestige des auteurs je ne suis pas catégorique)
Au plaisir de lire vos contributions et éclaircissement sur cette question, merci d'avance.91024

Réponses

  • Foys
    Foys
    Quitte à remplacer $E$ par l'espace engendré par $K$ on peut supposer $K$ d'intérieur non vide; quitte à remplacer $F$ par le sous-espace affine engendré par $im(f)$ on peut supposer $f$ surjective. Enfin quitte à composer $f$ avec des translations on peut supposer $f$ linéaire.
    Il se trouve que toute application linéaire surjective entre espaces vectoriels réels de dimension finie est ouverte (en jouant du théorème du rang et de l'équivalence des normes, on se place sur des bases $(b_1,...,b_p)$ de $E$ et $(c_1,...,c_q)$ de $F$ telles que $f(b_i)=c_i$ quand $i\leq q$ et $f(b_j)=0$ pour $q+1 \leq j \leq p$, et en mettant sur les epaces les normes infinies correspondantes, on a immédiatement le résultat).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Foys
    Ah je n'avais pas vu ta question : il y a un problème avec $E:=\R^2$, $F:=\R$, $g:= (x,y)\mapsto x$ et $K:=\,]0,1[^2$, on a $g(Ir(K))=\,]0,1[$ et $g^{-1}(g (Ir(K)))=\, ]0,1[ \times \R$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • ludo'
    ludo'
    En effet l'inclusion évoquée est fausse mais l'égalité annoncée dans l'exercice est néanmoins valide: $p(ir(K)) = ir(p(K))$
    Une inclusion est établie, comment obtenir l'autre ?
    Je suis preneur de toute source bibliographique ou démonstration correcte
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