Connexité de X avec différentes topologies

Miniportecle a écrit:

On admet que si $(E,\tau_1)$ est connexe alors $(E,\tau_2)$ est connexe.

Qu'est ce que ça veut dire que ça ? ("admet" mis pour "suppose" ?)

De deux choses l'une :
$(E,\tau_1)$ est connexe, dans ce cas, on supposerait simplement $(E,\tau_2)$ connexe aussi.
$(E,\tau_1)$ n'est pas connexe, dans ce cas, on ne supposerait rien sur $(E,\tau_2)$.

Miniportecle,

je reprends l'explication de Marsup, car il y a un problème de signification de ton énoncé. Il porte sur des objets uniques : Il ne s'agit pas de propriétés générales portant sur un ensemble de topologies sur E, mais de deux topologies particulières, sans lien entre elles.

Considère une topologie $\tau_1$ sur $E$ telle que $(E, \tau_1)$ n'est pas connexe. Alors la propriété
$\text{Si }(E, \tau_1) \text{ est connexe alors } (E, \tau_2) \text{ est connexe}$
est vraie quelle que soit $\tau_2$. Et donc on ne peut rien dire sur des liens entre les deux topologies.

Par contre, si tu es dans une situation où on utilise deux topologies liées entre elles, deux familles de couples de topologies, par exemple, la situation peut être différente. N'y aurait-il pas un vrai problème derrière ta bizarre question ?

Cordialement.

Rien,

on te l'a dit. On ne sait pas si $(E, \tau_1)$ est connexe. Marsup a tout dit.

Pour moi, c'est un énoncé mal rédigé, fait par quelqu'un qui comprend mal la logique. Laisse tomber (*).

Cordialement.

(*) si c'est ton prof qui l'a écrit, propose-lui de lire ce fil de discussion.

Il n'y a pas de problème de logique. C'est juste un énoncé un peu nullos. Je rappelle que "si $A$ alors $B$" est une manière de dire en langage naturel $A\implies B$, ou encore (en logique classique ) $\neg A\lor B$.
Donc ici on suppose que $(E,\tau_1)$ n'est pas connexe ou $(E,\tau_2)$ est connexe. La question est "peut-on en déduire quelque chose sur $\tau_1$, $\tau_2$ (notamment des relations d'inclusion) ?".

La réponse est "de manière générale, évidemment non". Si $E$ a moins d'un élément par exemple, on a une inclusion :-D
Sinon pour tout $E$ à au moins deux éléments, on peut trouver deux topologies non comparables telles que l'énoncé est vérifié.