Unicité de la limite
Bonjour
En refaisant de la topologie à zéro pour voir les filtres et aller plus loin qu'en l3 un exercice m'a interpelé.
"Montrer qu'un espace séparable à base dénombrable de voisinages a au plus la puissance du continu".
L'idée est évidemment d'associer à chaque point une suite de l'espace dense qui converge vers lui mais pourquoi serait-ce injectif ? L'espace n'est pas supposé séparé. Merci d'avance !
En refaisant de la topologie à zéro pour voir les filtres et aller plus loin qu'en l3 un exercice m'a interpelé.
"Montrer qu'un espace séparable à base dénombrable de voisinages a au plus la puissance du continu".
L'idée est évidemment d'associer à chaque point une suite de l'espace dense qui converge vers lui mais pourquoi serait-ce injectif ? L'espace n'est pas supposé séparé. Merci d'avance !
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Réponses
En mettant juste un point dense tu peux faire $T_0$ sans souci. Il faut réfléchir un peu plus pour $T_1$ (je ne l'ai pas fait) mais je pense qu'on peut trouver des contrexemples aussi
Je pense que c'était donc une hypothèse implicite - il faudrait quand même la mettre.
Si tu es intéressé par les filtres, tu peux (en gardant la séparation) enlever l'hypothèse de base dénombrable, quitte à dire "alors $|X|\leq 2^\R$".
Je vais réfléchir à ce qu'il se passe sans l'hypothèse de base denombrable de voisinages. Le contrôle sur X me crève moins les yeux dans ce cas.