Équivalence d'homotopie
La notion d'homotopie entre deux applications continues ne me pose pas de problème.
Par contre, la notion de deux espaces topologiques homotopiquement équivalents, j'ai du mal à la visualiser. Partant de la définition, j'ai deux espaces topologiques $X$ et $Y$, et deux applications continues $f : X \longrightarrow Y$ et $g : Y \longrightarrow X$ telles que $f \circ g$ et $g \circ f$ sont homotopes aux identités respectives de $X$ et de $Y$.
Bon. Donc visuellement, je me dis : via $f$, $X$ va être déformé en une partie de $Y$, puis via $g$ on va redéformer $f(X)$ en une partie de $X$, qui peut à son tour être redéformée vers $X$ de manière continue, c'est ça ? Et idem avec $Y$.
Je sais aussi que deux espaces homotopiquement équivalents ne sont pas nécessairement homéomorphes, mais j'ai l'impression que l'un des deux va toujours être homéomorphe à une partie de l'autre. Par exemple, $X$ peut ne pas être déformable continûment vers $Y$, mais il doit l'être vers une partie de $Y$.
En tout cas, avec les exemples du Félix-Tanré, c'est ce que j'ai l'impression de comprendre.
Donc voilà, visuellement parlant, que se passe-t-il avec deux espaces homotopiquement équivalents ? Et pouvez-vous me trouver deux parties simples du plan qui ne sont pas homotopiquement équivalentes ?
Par contre, la notion de deux espaces topologiques homotopiquement équivalents, j'ai du mal à la visualiser. Partant de la définition, j'ai deux espaces topologiques $X$ et $Y$, et deux applications continues $f : X \longrightarrow Y$ et $g : Y \longrightarrow X$ telles que $f \circ g$ et $g \circ f$ sont homotopes aux identités respectives de $X$ et de $Y$.
Bon. Donc visuellement, je me dis : via $f$, $X$ va être déformé en une partie de $Y$, puis via $g$ on va redéformer $f(X)$ en une partie de $X$, qui peut à son tour être redéformée vers $X$ de manière continue, c'est ça ? Et idem avec $Y$.
Je sais aussi que deux espaces homotopiquement équivalents ne sont pas nécessairement homéomorphes, mais j'ai l'impression que l'un des deux va toujours être homéomorphe à une partie de l'autre. Par exemple, $X$ peut ne pas être déformable continûment vers $Y$, mais il doit l'être vers une partie de $Y$.
En tout cas, avec les exemples du Félix-Tanré, c'est ce que j'ai l'impression de comprendre.
Donc voilà, visuellement parlant, que se passe-t-il avec deux espaces homotopiquement équivalents ? Et pouvez-vous me trouver deux parties simples du plan qui ne sont pas homotopiquement équivalentes ?
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Réponses
Il n'est pas vrai que si $X,Y$ sont homotopiquement équivalents alors l'un est homéomorphe à une partie de l'autre; enfin en tout cas pas de la manière dont tu le décris. Je crois que le ruban de Möbius et le cylindre sont des contrexemples : les deux sont homotopiquement équivalents au cercle, donc entre eux, mais j'imagine mal un homéo du cylindre sur une partie du Möbius, ou inversement; j'ai même des esquisses de preuve en tête.
Bref être homotopiquement équivalents c'est très différent de homéomorphes.
En fait moi j'ai toujours trouvé que la description d'homéomorphisme comme "déformation continue" était un peu mensongère, pour moi "déformation continue sans rompre ni trancher" ça décrit plus une équivalence d'homotopie. Typiquement, pars du cylindre $S^1\times [0,1]$, et écrase la partie en $[0,1]$. Visuellement, j'appelle ça déformer; pourtant on arrive sur $S^1$ (et on peut redéformer dans l'autre sens en épaississant le cercle), qui ne lui est pas homéomorphe.
Donc c'est comme ça que je décrirais l'équivalence d'homotopie; et peut-être pour marquer explicitement la distinction avec l'homéomorphisme, je dirais "et tu as le droit d'aplatir, d'épaissir, de tirer", l'exemple de Möbius et le cylindre montre bien ça, de même que l'exemple de $\R$ et le point, ou encore $S^2$ et $S^2$ où on rajoute des petits bâtonnets qui pointent vers l'extérieur sans se toucher.
Un autre exemple typique pour se figurer les choses est le suivant : tu prends un graphe fini, que tu "vois comme espace topologique", c'est-à-dire que tu mets des vraies arêtes homéomorphes à $[0,1]$ entre les sommets. Bah en écrasant bien les arêtes qu'il faut, tu te ramènes à un bouquet de cercles (c'est-à-dire quelques cercles liés entre eux en un point): c'est très visuel, et on voit pourquoi c'est différent d'homéomorphisme (en fait je n'étais pas obligé de dire "fini" mais c'est plus simple à visualiser comme ça)
Pour des exemples de sous-ensembles du plan il y en a plein ! Typiquement les graphes planaires fournissent plein d'exemples. Plus élémentairement, tu prends le cercle $S^1\subset \R^2$, le carré plein $[0,1]^2$. Ou encore, tu prends deux ouverts connexes disjoints $U,V$, bah leur union $U\sqcup V$ n'est pas homotopiquement équivalente à $[0,1]^2$
Ou encore tu prends une boule centrée en $0$, tu lui retires $0$, bah ce n'est plus homotopiquement équivalent.
Pour répondre à tes questions à GBZM (que j'ai vues après) : un cercle n'est pas un équivalent à un segment, ni à un disque, ni à une lemniscate de Bernoulli (si j'en crois ma recherche Google images)
- les points et nuages de points ne peuvent pas être "simplifiés"
- les droites, portions de droites, et courbes simples non fermées (de longueur finie ou non) deviennent des points
- les courbes fermées simples et les boucles dans une courbe deviennent un cercle
- pour les surfaces, c'est plus compliqué, ça dépend du nombre de trous et si la surface a un intérieur ou pas (un plan dans l'espace devient un point, mais une sphère non, et un tore non plus mais c'est différent d'une sphère)
De là à trouver des expressions pour les homotopies, c'est plus difficile.
Sans passer par le point, tu peux écrire l'homotopie explicitement : soit $D$ le disque de centre $0$ et de rayon $1$, $I$ le segment $[-1,1]\times \{0\}$ et $p: D^2\to I$ la projection; et $i: I\to D^2$ l'inclusion. On a alors $p\circ i = id_I$, donc rien à faire; et $i\circ p = (x,y)\mapsto (x,0)$. On a alors que $H((x,y),t) = (x,ty)$ est une homotopie entre $i\circ p$ et $id_{D^2}$.
Bon cet exemple là est "mauvais" en un sens parce qu'il donne l'impression que ton idée de "être homéomorphe à un sous espace" est l'idée qu'il faut se faire de l'équivalence d'homotopie.
Le problème de trouver des expressions pour les homotopies intervient déjà pour l'homotopie entre applications continues, pas que pour l'équivalence d'homotopie.
Pour les surfaces il te manque aussi un aspect qui est l'orientabilité. Mais c'est un théorème difficile de dire que "orientabilité et nombre de trous" classifient les surfaces (compactes sans bord).
Bon après les surfaces à bord compactes se rétractent sur leur intérieur par un théorème de géométrie (je crois que c'est voisinage tubulaire mais c'en est peut-être un autre) donc à homotopie près on peut ne s'inquiéter que des surfaces sans bord.
Mais là on en reste aux variétés, les espaces (même non pathologiques !) c'est beaucoup plus divers que ça
Mais là j'essayais juste de me donner une compréhension un peu plus solide du chapitre 1 du Félix-Tanré, parce que sans ça le reste du bouquin c'est même pas la peine.
en dimension $0$ on n'a que des réunions disjointes de points, auquel cas le type d'homotopie est classifié par leur nombre
en dimension $1$, on n'a que $S^1$ et $\mathbb R$
en dimension $2$, les surfaces compactes qui se plongent dans $\mathbb R^3$ sont orientables, donc classifiées par leur genre ( = nombre de trous), même si c'est un théorème pas facile; et là elles apparaissent toutes : il s'agit de $S^2$ et des tores à $n$ trous
Les surfaces non compactes je ne sais pas j'avoue; dans ma tête je n'arrive jamais à visualiser que des nappes
En dimension $3$ il s'agit précisément des ouverts, et ça n'a pas l'air si compliqué (même si ça l'est plus qu'on pourrait croire; ils ont une bonne classification en dimension $2$ grâce à l'analyse complexe, mais en dimension $3$ :-S )