Union infinie de fermés

Miniportecle
Miniportecle
dans Topologie
Bonjour
On part du fait que toute réunion d'une famille finie de fermés est un fermé.
Et que pour tout $x \in \mathbb R$, le singleton $\{x\}$ est fermé.

Comment je peux montrer que l'ensemble $\big \{\frac k \pi\mid k\in \mathbb Z\big \}$ est fermé (rigoureusement) ? C'est une union infinie de singletons...

Merci d'avance.

Réponses

  • Goleon
    Goleon
    Salut

    Peut-être que si on regarde les solutions de l'équation $\sin(\pi^2 x) = 0$ on doit pouvoir dire quelque chose !
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Sais-tu montrer que $\mathbb Z$ est fermé ?
    Sais-tu montrer que l'image d'un fermé par un homéomorphisme est fermée ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Être fermé est une notion locale, et il suffit de montrer que l'intersection de ton ensemble avec n'importe quel intervalle ouvert borné (les intervalles ouverts bornés forme une base de la topologie) est fermé dans cet intervalle ouvert.
  • Juneid
    Juneid
    Bonjour
    Peut-on passer par le complémentaire ? C'est la réunion de tous les ouverts $]{-}\frac{k}{\pi};{-}\frac{k-1}{\pi}[ \,\cup\, ]\frac{k-1}{\pi};\frac{k}{\pi}[$ pour $k$ $\in \mathbb{Z}$, non ?
  • gerard0
    gerard0
    Heu ... c'est bien compliqué ! $\bigcup\limits_{k\in \mathbb Z} ]\frac{k}{\pi},\frac{k+1}{\pi}[$ suffit bien.
    Ensuite, une réunion d'ouverts ...

    Cordialement.
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