Dense donc sans point isolé ?

alloirat · November 2019

Bonsoir tout le monde,
j'ai une question par rapport à la question de la topologie de R.
Comment montrer que A dense dans R implique que A n'a pas de point isolé.
Merci.

Tryss · November 2019

Montre la contaposée : A un point isolé => Pas dense dans R , en prennant un point isolé de A, et sert toi en pour construire un point de $\mathbb{R}$ qui est "loin" de tout les points de $A$

marsup · November 2019

Bonsoir,

Moi j'écrirais les deux définitions suivantes :
"$A$ est dense dans $\R$"
"$x\in A$ est isolé dans $A$"

et j'essaierais de trouver une contradiction à l'existence d'un point isolé dans $A$ sous l'hypothèse que $A$ est dense. (ce n'est pas difficile)

GaBuZoMeu · November 2019

Peux-tu rappeler la définition de point isolé de $A$ ? Elle fait intervenir un voisinage ouvert du point, intersection d'un ouvert de $\mathbf R$ avec $A$. Et quand on enlève le point à cet ouvert ....

alloirat · November 2019

Merci pour vous idées.
Je fais une démonstration comme suit dans fichier joint. 92130

GaBuZoMeu · November 2019

Oui.
Je me contenterais de dire que $B(a\epsilon)\setminus\{a\}$ est un ouvert non vide de $\mathbb R$ disjoint de $A$, mais sans doute es-tu plus rassuré en raisonnant avec des boules.

Dense donc sans point isolé ?

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