Voisinage fermé

Bonjour.

L'un est un ouvert, l'autre est un fermé. Et un voisinage peut être à la fois ouvert et fermé, même si généralement, la plupart des voisinages ne sont ni ouverts, ni fermés.

A savoir : L'intérieur d'un voisinage fermé est un voisinage ouvert.

Cordialement.

Bonjour, Ahlamsmap.

Donc la topologie grossière, comme dans toute autre topologie, on trouve les fermés en prenant les complémentaires des ouverts. Comme il y a seulement deux ouverts dans la topologie grossière sur $E$ (voire un seul si $E=\emptyset$), en appliquant la définition tu trouves immédiatement les fermés.

En fait, tu poses ici une question à laquelle tu peux répondre toi-même : Tu es assez intelligent pour appliquer la définition de "fermé" à cette situation.

Cordialement.

Oui bien sûr, les seuls ouverts de la topologie grossière sur $E$ sont $E$ et $\emptyset$.

Bah lorsque $E=\mathbb R$ on peut regarder la topologie grossière, ou la topologie usuelle, ou d'autres topologies... Quelle est ta question ?

La topologie grossière sur un ensemble $E$ est par définition la topologie dont les ouverts sont $E$ et $\emptyset$. Tu n'as pas vu cette définition ? Ça vaut aussi pour $E=\mathbb R$ !
La topologie grossière sur $\mathbb R$ est la topologie dont les seuls ouverts sont $\mathbb R$ et $\emptyset$. Ce n'est bien sûr pas la topologie usuelle sur $\mathbb R$.