Connexité par arcs

rira
rira
dans Topologie
Bonjour
Montrer que IR2\D où D est une partie dénombrable de IR2 est connexe par arcs.
J'ai passé pas mal de temps avec cet exercice mais je n'ai rien trouvé. Je pense que je n'ai pas bien compris la notion de connexité par arcs.
Bref, si vous pouviez m'aider çà sera sympa.
Merci d'avance.

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    On regarde tous les arcs de cercle joignant deux points donnés de cette partie.
  • Dom
    Dom
    Intuitivement j’aurais cru que c’était faux.
    Considérons $\mathbb R^2 \setminus \mathbb Q^2$ par exemple.
    Prenons $A(-\sqrt{2};-\sqrt{2})$ et $B(\sqrt{2};-\sqrt{2})$.
    Une piste pour démontrer qu’il existe un arc de cercle passant $A$ et $B$ dont tous les points sont irrationnels ?
  • JLT
    JLT
    Il y a une infinité non dénombrable d'arcs de cercles (ouverts) deux à deux disjoints allant de A à B...
  • Corto
    Corto
    C'est une histoire de cardinalité Dom, combien d'arc de cercle disjoints relient $A$ et $B$ ?

    Edit : croisement de mon message avec celui de JLT
  • Sinusix
    Sinusix
    Dans l'ensemble des arcs de cercles qui relient les deux points, qui a la puissance du continu, le sous-ensemble de ceux qui rencontrent $D$ est dénombrable, car est injective l'application qui, à chacun de ces arcs de cercle, associe l'un quelconque de ses points dans $D$, puisque trois points définissent un cercle.
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