Connexité par arcs

rira · November 2019

Bonjour,
soit E un IR espace vectoriel de dimension finie, H un hyperplan de E, h une forme linéaire non nulle de E définissant H
Monter que E\H n'est pas connexe par arcs de E
Réponse:
on a h une forme linéaire telle que ker h = H. Puisque E est de dimension finie alors h est linéaire.
Or h(E\H) = IR*
Vu que IR* n'est pas connexe par arcs, E\H ne l'est donc pas.
Sauf que je n'ai pas compris les passages en rouge.
Merci d'avance

marsup · November 2019

Puisque E est de dimension finie alors h est linéaire.

$h$ est (linéaire en dimension finie, donc) continue, tu veux dire ?

h(E\H) = IR*

$h(E) = \R$ (comme toutes les formes linéaires non-nulles), et $H=h^{-1}(\{0\})$.

Math Coss · November 2019

Il faut sans doute lire « $h$ est continue » plutôt que « $h$ est linéaire ». C'est une propriété générale des applications linéaires en dimension finie.

Soit $v$ un vecteur dans $E\setminus H$. Alors $h(v)\ne0$. Pour $\lambda\in\R^*$, on a : \[h\Bigl(\frac{\lambda}{h(v)}v\Bigr)=\lambda\] donc $h(E\setminus H)$ contient $\R^*$. Inversement, comme $H$ est exactement l'ensemble des antécédents de $0$ par $h$ (son noyau !), on voit que $h(E\setminus H)$ est inclus dans $\R^*$.

rira · November 2019

merci c'est compris

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