Produit de connexes

Soit $(X_i)$ une famille d'espaces connexes, et $X= \prod_i X_i$. Supposons que $U\sqcup V = X$ avec $U,V$ ouverts non vides

Il y a un ouvert de base inclus dans $U$, il est de la forme $(x_{i_0}\in U_{i_0},...x_{i_k}\in U_{i_k})$, et de même pour $V$ : $(y_{j_0}\in V_{j_0},...y_{j_r}\in V_{j_r})$.

En particulier, il y a $x\in U, y\in V$ qui ne diffèrent que sur un ensemble fini d'indices $J\subset I$ (on peut les choisir de sorte qu'ils diffèrent au plus sur $\{i_0,...,i_k\}\cup \{j_0,...,j_r\}$ au vu de la description de mes ouverts de base et du fait qu'ils sont inclus dans $U, V$ respectivement)

Soit alors $\prod_{j\in J}X_j \to X$ l'inclusion "en $x,y$" : c'est-à-dire que je fixe toutes les coordonnées en dehors de $J$ à être égales à celles de $x$ (et donc de $y$), et sur les autres coordonnées je suis l'identité : c'est bien une application continue.

Tirer en arrière $U,V$ donne alors une décomposition de $\prod_{j\in J}X_j$ en deux ouverts disjoints non vides (ils contiennent $x_{\mid J},y_{\mid J}$ respectivement) : or il est facile de prouver qu'un produit fini d'espaces connexes est connexe (je le laisse en exercice), c'est donc absurde.

Donc $\prod_i X_i$ est connexe. Donc ton professeur s'est trompé (enfin, si je ne me trompe pas)