Sous-groupes additifs de $\R^n$

Visuellement, c'est plutôt clair il me semble. Le sous-groupe est non discret, donc tu vas pouvoir trouver une suite $(g_k)_k$ dans $G$ telle que $(d(g_k,0))_k$ est strictement décroissante et tend vers $0$. Pour tout $k \geq 0$, la droite discrète $\mathbb{Z}g_k$ est dans $G$. Elle est "de plus en plus dense". Et par compacité locale de $\mathbb{R}^n$, cette suite de droites devrait converger (à extraction près d'une sous-suite) vers une vraie droite dans $\mathbb{R}^n$, droite limite qui devrait appartenir à $G$ puisque $G$ est fermé.

Bien sûr, il faut rendre tout ça rigoureux, mais c'est un début.