Sous-espace complet d'un espace topologique
Bonjour
Le titre de mon message n'est pas assez long pour éviter une éventuelle confusion mais on est limité alors je détaille.
On dispose du résultat bien connu suivant.
Si $(X,d)$ est un espace métrique, si $Y$ est un sous-espace complet (pour la métrique induite par $d$) alors $Y$ est un fermé de $X$.
Mais j'aimerais utiliser le résultat plus général suivant (est-il vrai déjà ?).
Si $(X,T)$ est un espace topologique séparé, si $Y$ est un sous-espace dont la topologie trace de $T$ est la même que celle définie par une métrique $d$ sur $Y$ telle que $(Y,d)$ est complet, alors $Y$ est un fermé de $X$.
Je pense que ce résultat est vrai mais je ne parviens pas à en donner une preuve (j'ai commencé par choisir un filtre $F$ sur $X$ contenant $Y$ et convergeant vers $l\in X$ et j'aurais voulu prouver que le filtre trace sur $Y$ est de Cauchy pour conclure avec la complétude (comme on fait quand $X$ est métrique) mais je n'y arrive pas).
En espérant que ça intéresse certains
Le titre de mon message n'est pas assez long pour éviter une éventuelle confusion mais on est limité alors je détaille.
On dispose du résultat bien connu suivant.
Si $(X,d)$ est un espace métrique, si $Y$ est un sous-espace complet (pour la métrique induite par $d$) alors $Y$ est un fermé de $X$.
Mais j'aimerais utiliser le résultat plus général suivant (est-il vrai déjà ?).
Si $(X,T)$ est un espace topologique séparé, si $Y$ est un sous-espace dont la topologie trace de $T$ est la même que celle définie par une métrique $d$ sur $Y$ telle que $(Y,d)$ est complet, alors $Y$ est un fermé de $X$.
Je pense que ce résultat est vrai mais je ne parviens pas à en donner une preuve (j'ai commencé par choisir un filtre $F$ sur $X$ contenant $Y$ et convergeant vers $l\in X$ et j'aurais voulu prouver que le filtre trace sur $Y$ est de Cauchy pour conclure avec la complétude (comme on fait quand $X$ est métrique) mais je n'y arrive pas).
En espérant que ça intéresse certains
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Réponses
Merci, c'est imparable.
En fait, il y a toujours un contre-exemple quand $Y$ est complet non compact car, si on appelle $X$ son compactifié de Stone-Cech, alors $Y \subsetneq X$ et $\overline{Y}=X$. En revanche, si $Y$ est compact, alors la propriété est toujours vraie.