Filtre image par une fonction

Re,
Désolé d'avoir pollué le forum (ça devient une habitude), je pouvais résoudre le truc moi-même (j'indique quand même le truc des fois que j'aurais fait une grosse bêtise sans la voir):
En ce qui concerne l'énoncé (a), l'ensemble $\mathcal{F}'$ des parties de $E$ vérifiant $\forall A, A\in \mathcal{F}' \leftrightarrow [\exists B, B\in \mathcal{F}\wedge f^{-1}(B)=A]$ est un filtre sur E et son image directe coïncide avec la base de $\mathcal{F}$. Donc ça, ça va.

Et en ce qui concerne le (b), je crois avoir du coup trouvé l'idée et j'ai été vachement bien inspiré de l'associer à l'autre (à mon échelle, c'est un coup de génie! je crois que l'étude de la topologie me rend intelligent). Avec les mains: ce filtre plus fin que $f_*\mathcal{F}$ (nommons-le $\mathcal{F}'$) possède une base sur $f(E)$ ( composés des intersections de ses éléments avec $f(E)$, jamais vide puisqu'il sont d'intersections non vide avec la base de $f_*\mathcal{F}$, contenue dans $\mathcal{F}'$ ), il a donc, par (a) un antécédent par $f$ dans $E$ (on prend dans un premier temps le "direct", qui est le plus grossier, ça doit impliquer la compatibilité) constatant que l'intersection de n'importe quel élément de cette 'image réciproque directe" de $\mathcal{F}'$ par $f$ avec n'importe quel élément de $\mathcal{F}$ est non vide (i.e: qu'ils sont compatibles), le filtre composé des intersections des éléments de ces deux-là (c'en est un à vue de nez) a toute les chances de faire l'affaire.

Euh.... Non en fait, c'était pas si mal, si un filtre sur $F$ est plus fin que $f_* \mathcal{F}$, il a bien une base sur $f(E)$, désolé Foys, je maintiens.

Tout ce qu'on peut dire sur la base de ses propriétés à propos des ultrafiltres de $F$, c'est que ceux qui ont une base sur $f(E)$ admettent des antécédents (enfin, au moins un, comme les autres filtres qui admettent une base sur $f(E)$), et puisqu'ils ont en plus la propriété d'être "stable par raffinement de l'antécédent", ils admettront nécessairement des (enfin, au moins un) ultrafiltres comme antécédents.

Salut,
Merci, il était évident que le quiproquo venait de par là.. En ce qui concerne la propriété que tu cites, c'est vrai qu'elle est évidente a posteriori :-D. Mais bizarrement, hier soir, j'ai mis un temps fou à m'en rendre compte et c'était même le point de blocage.

Edit: Sur ta remarque, dans le cas du filtre $\mathcal{G}=\{ F\}$, son unique base est lui-même, du coup, je ne me sens en toute généralité pas trop concerné.

Merci beaucoup Foys.
J'aurais dû préciser après mon deuxième message, j'avais juste l'idée avec les mains à ce moment là, mais c'était plutôt facile à formaliser (même pour la compatibilité des deux filtres $\mathcal{F}$ et $f^{-1}(\mathcal{G})$) et je l'ai fait dans la foulée. En fait on peut peut montrer que "l'image réciproque" d'un filtre par une fonction (celui que je qualifiais de "direct" ou de "plus grossier", et que tu nommes plus simplement et avec raison $f^{-1}(\mathcal{G})$) est un filtre sur sur le domaine ($E$) et puisqu'il est compatible avec $\mathcal{F}$, l'ensemble que tu décris là n'est pas juste une base du filtre recherchée, c'est le filtre.


Edit: Flute! AD m'a pincé! Par ailleurs, j'ai dit une ânerie dans ma dernière phrase je voulais dire "un filtre qui possède une base sur f(E)" et pas un filtre quelconque (parce que sinon, ça ne marche généralement pas, comme Foys l'avait déjà signalé).