Unicité de la limite

Martial · November 2019

Bonjour à tous,
Soient $X$ un ensemble muni d'un filtre $F$, $Y$ un espace topologique, et $f$ une fonction de $X$ dans $Y$.
Il est clair que si $Y$ est séparé, alors il y a unicité de la limite au sens où, si $f$ a pour limite (au sens de $F$) à la fois $l$ et $l'$, alors $l=l'$.
Ce que je cherche c'est un contre-exemple dans le cas où $Y$ n'est pas séparé. Je pensais utiliser l'identité de $\R$ muni de la topologie usuelle dans $\R$ muni de la topologie "complémentaire des dénombrables", sachant que ce truc fournit un contre-exemple à une pelletée de théorèmes. Manque de pot, ici, ça ne marche pas.
Merci de me donner une petite piste...

Foys · November 2019

Il y a équivalence entre ces propriétés en fait.

Soit $(Y,\tau)$ un espace topologique (non séparé), $p,q\in Y$ distincts tels que pour tout voisinage $V$ de $p$ et tout voisinage $W$ de $q$, $V \cap W$ est non vide. Soit $\mathcal F$ l'ensemble de toutes les parties $E$ de $Y$ contenant une partie de la forme $V'\cap W'$ où $V'$ est un voisinage de $p$ et $W'$ un voisinage de $q$. Alors $\mathcal F$ est un filtre de $Y$. Si on pose $X:=Y$ et $f=id_Y$, on voit que $f$ tend vers $p$ et $q$ suivant $\mathcal F$.