Bonsoir !!
Je suis en train de réviser pour mon examen de topologie et je suis bloquée sur une petite question.
Est-ce que E={(x,y), x^2+y^2<1} et F=[0,1]x[0,1] sont homéomorphes ?
Merci d’avance pour vos réponses !!
Cordialement.
Si on trouve une bijection entre les deux ensembles, il suffit de les munir de la topologie discrète pour que tout soit continue et donc pour obtenir un homéomorphisme.
Il faudrait montrer que soit E n’est pas fermé soit E n’est pas borné pour montrer que E n’est pas compact mais je ne parviens pas à démontrer cela ...
désolé du dérangement ..
Si je prends une suite d’éléments de E soit Xn=(0,1-1/n)
Xn appartient à E mais converge vers (0,1) qui n’appartient pas à B donc E n’est pas fermé et donc non compact.
Et comme F est compact.
Il ne peut pas avoir d’application continue entre E et F.
Car l’image d’un compact par une fonction continue est compacte ?
Est-ce vrai ?
Il y a un problème sur l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée de l'application continue, et l'expression "application continue entre E et F" n'est pas rigoureuse?
Je ne sais pas ce qu'est une application entre E et F ; je connais seulement les applications de E dans F d'une part, les applications de F dans E d'autre part.
Ah exact..
Donc plus rigoureusement puis je dire
Comme E n’est pas compact
Et F est compact donc
Il ne peut pas y avoir d’application allant de F dans E continue ?
gb vient de répondre à ta dernière question dans ton message précédent.
Ne pas croire que l’espace d’arrivé est l’image de la fonction.
Autrement dit, ne pas croire que toute fonction de F dans E est surjective.
Vulgarisé : ne pas croire que tout point de E est atteint par n’importe quelle fonction de F dans E.
Super merci je crois avoir compris !!
Donc l’application n’est pas bijective
Donc il faut préciser que il n’existe pas d’application bijective continue ?
Réponses
Quelles sont les propriétés topologiques simples qui sont communes à \(E\) et \(F\), quelles sont celles que seul un des deux possède ?
Et la boule unité est à la fois un ouvert et un ferme ?
désolé du dérangement ..
Dans quelle catégorie \(E\) rentre-t-il ?
Xn appartient à E mais converge vers (0,1) qui n’appartient pas à B donc E n’est pas fermé et donc non compact.
Et comme F est compact.
Il ne peut pas avoir d’application continue entre E et F.
Car l’image d’un compact par une fonction continue est compacte ?
Est-ce vrai ?
Donc plus rigoureusement puis je dire
Comme E n’est pas compact
Et F est compact donc
Il ne peut pas y avoir d’application allant de F dans E continue ?
Je ne comprends plus ..
L’application réciproque est non continue?
Ne pas croire que l’espace d’arrivé est l’image de la fonction.
Autrement dit, ne pas croire que toute fonction de F dans E est surjective.
Vulgarisé : ne pas croire que tout point de E est atteint par n’importe quelle fonction de F dans E.
Donc l’application n’est pas bijective
Donc il faut préciser que il n’existe pas d’application bijective continue ?
Ton argument de compacité est intéressant, mais il faut le coupler à une question de bijectivité pour conclure.
Bonne soirée
Cordialement