Image réciproque d'un ouvert

https://math.unice.fr/~eaubry/Enseignement/L3/rappelstopo.pdf
Bonjour !
Quelqu'un pourrait-il m'aider ? Je comprends mal la preuve directe de la proposition 1.4.7
En prenant un ouvert O dans F on cherche à montrer que l'image réciproque de O par f est également un ouvert, or je ne comprends pas pourquoi conclure par 'f^-1(O) est un voisinage de chacun de ses points' montre que f^-1(O) est un ouvert de l'ensemble de départ.