Application linéaire
Bonjour à tous
Je suis toujours dans mes révisions ...
Et je suis en train de m’entraîner sur un exercice qui me demande de
montrer que $\| f\|= \sqrt{\int_0^1(|f|)^2}dt $ définit une norme.
Je pense avoir réussi même si je ne suis pas que sûr à 100% pour mon inégalité triangulaire.
Mais ensuite il me demande de montrer que la forme linéaire $f = f(0)$ n’est pas continue pour cette norme.
Et en déduire que l’ensemble $f(0)=0$ n’est pas fermé.
Et là je ne sais pas comment procéder.
Pouvez-vous me donner quelques idées ?
Je suis toujours dans mes révisions ...
Et je suis en train de m’entraîner sur un exercice qui me demande de
montrer que $\| f\|= \sqrt{\int_0^1(|f|)^2}dt $ définit une norme.
Je pense avoir réussi même si je ne suis pas que sûr à 100% pour mon inégalité triangulaire.
Mais ensuite il me demande de montrer que la forme linéaire $f = f(0)$ n’est pas continue pour cette norme.
Et en déduire que l’ensemble $f(0)=0$ n’est pas fermé.
Et là je ne sais pas comment procéder.
Pouvez-vous me donner quelques idées ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Une forme linéaire est continue si, et seulement si, elle est bornée sur la boule unité.
Il te suffit donc de prouver que la forme envisagée n'est pas bornée sur la boule unité.
Cela revient à exhiber une suite \(f_n\) de fonctions avec : d'une part \(\lVert f \rVert \leqslant 1\), c.-à-d. que tu dois maîtriser l'intégrale de \(\lvert f_n \rvert^2\) sur \([0,1]\), et d'autre part la suite de terme général \(f_n(0)\) ne doit pas être bornée, c.-à-d. que les fonctions \(f_n\) doivent prendre de « grandes valeurs» en \(0\), par exemple: \(f_n(0)=n\) pour tout \(n\).
Je ne comprends pas la notion de «maitriser mon intégrale »
$f_n= 1/n$ si $n \neq 0 ,$ et $n$ si $n=0,$
convient ?
$f_n$= 1/n si n différent de 0
n si n=0
Cette fonction n'est pas continue sur \([0,1]\), mais l'intention y était.
Peux-tu nous calculer $\|f_a\|^2$ et $f_a(0)$ pour $f_a : x\mapsto \exp(-ax)$, avec $a\neq 0$ ?
Non j’ai vraiment du mal à trouver des contre-exemples.