Prolongement continu de $x^y$ en $(0,0)$

Bonjour à tous
J'ai lu à plusieurs reprises que l'on pouvait prolonger par continuité la fonction $f:(x,y)\mapsto x^y=e^{y\ln(x)}$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$. Cependant j'observe que :
d'une part, $f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})=e^{\frac{1}{n}\ln(\frac{1}{n})}$, et parce que $x\ln(x)$ tend vers 0 en 0, alors $f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ tend vers $e^0=1$ en $+\infty$ ;
d'autre part, $f\big(e^{-n},\ln(1+\frac{1}{n})\big)=e^{\ln(1+\frac{1}{n})\ln(e^{-n})}=e^{-n\ln(1+\frac{1}{n})}=(1+\frac{1}{n})^{-n}=\big((1+\frac{1}{n})^n\big)^{-1}$ qui tend vers $e^{-1}\neq 1$ (résultat classique) en l'infini.

Donc on a trouvé deux suites de $\mathbb{R}^2$ tendant vers $(0,0)$ mais dont les images respectives par la fonction $f$ ne tendent pas vers la même limite.
Donc $f$ n'est pas prolongeable par continuité en $(0,0)$ (on peut montrer facilement qu'elle est continue pour $x$ réel positif et $y$ réel positif non nul).

Est-ce correct ?
Merci.