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Prolongement continu de $x^y$ en $(0,0)$

Envoyé par Aguelord 
Prolongement continu de $x^y$ en $(0,0)$
il y a cinq semaines
Bonjour à tous
J'ai lu à plusieurs reprises que l'on pouvait prolonger par continuité la fonction $f:(x,y)\mapsto x^y=e^{y\ln(x)}$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$. Cependant j'observe que :
d'une part, $f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})=e^{\frac{1}{n}\ln(\frac{1}{n})}$, et parce que $x\ln(x)$ tend vers 0 en 0, alors $f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ tend vers $e^0=1$ en $+\infty$ ;
d
'autre part, $f\big(e^{-n},\ln(1+\frac{1}{n})\big)=e^{\ln(1+\frac{1}{n})\ln(e^{-n})}=e^{-n\ln(1+\frac{1}{n})}=(1+\frac{1}{n})^{-n}=\big((1+\frac{1}{n})^n\big)^{-1}$ qui tend vers $e^{-1}\neq 1$ (résultat classique) en l'infini.

Donc on a trouvé deux suites de $\mathbb{R}^2$ tendant vers $(0,0)$ mais dont les images respectives par la fonction $f$ ne tendent pas vers la même limite.
Donc $f$ n'est pas prolongeable par continuité en $(0,0)$ (on peut montrer facilement qu'elle est continue pour $x$ réel positif et $y$ réel positif non nul).

Est-ce correct ?
Merci.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Aguelord.
Re: Prolongement par continuité de x^y en (0,0)
il y a cinq semaines
Aussi, pourquoi est-il également admis que cette fonction est prolongeable ?
Re: Prolongement par continuité de x^y en (0,0)
il y a cinq semaines
C'est correct. Je ne sais pas qui t'a dit que l'on pouvait prolonger cette fonction par continuité en $(0, 0)$, c'est bien sûr faux.

Peut-être penses-tu à la convention $0^0=1$ qui intervient dans plusieurs contextes.
Re: Prolongement par continuité de x^y en (0,0)
il y a cinq semaines
Il n'est pas généralement admis que cette fonction soit continûment prolongeable. C'est la raison pour laquelle on considère « $0^0$ » comme une « forme indéterminée ».



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Chaurien.
Re: Prolongement par continuité de x^y en (0,0)
il y a cinq semaines
J'ai lu cela ici.
On s'arrête juste à la convention alors. Merci.

(Attention le site pique les yeux)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Aguelord.
Re: Prolongement par continuité de x^y en (0,0)
il y a cinq semaines
Citation
Aguelord
Aussi, pourquoi est-il également admis que cette fonction est prolongeable ?
Soient $E,F$ des ensembles avec $F$ non vide(*). Soit $D$ une partie de $E$. Soit $f:D\to F$ une application. Soit $y\in F$ (cf (*)).
Alors l'application $g$ de $E$ dans $F$ définie par $g(x):= f(x)$ si $x\in D$ et $g(x):=y$ si $y\notin D$ prolonge $f$.

Ta fonction est bien prolongeable; elle n'est pas prolongeable par continuité (ce que tu as prouvé).
Re: Prolongement par continuité de x^y en (0,0)
il y a cinq semaines
Citation
Foys
Ta fonction est bien prolongeable; elle n'est pas prolongeable par continuité (ce que tu as prouvé).

Quel est ce type de prolongement alors ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Aguelord.
Re: Prolongement par continuité de x^y en (0,0)
il y a cinq semaines
Il n'a pas de nom particulier, c'est un prolongement, c'est tout. Toutes les fonctions partielles à valeurs dans un ensemble non vide sont prolongeables.
Re: Prolongement par continuité de x^y en (0,0)
il y a cinq semaines
0^0 est un marronnier, la dernière conversation qu'on avait eue sur le forum à ce sujet se trouve ici: [www.les-mathematiques.net]
Re: Prolongement continu de $x^y$ en $(0,0)$
il y a quatre semaines
Pour moi, ce n'est pas tellement une convention que $0^0=1$, puisque ça doit être le cardinal de $\varnothing^{\varnothing}$ qui vaut effectivement $1$.

Est-ce qu'il y a d'autres valeurs parfois associées à $0^0$ ? Si oui, dans quels contextes, parce que je n'ai jamais vu autre chose que $1$...

“Les mathématiques ne connaissent ni races, ni frontières géographiques. Pour les mathématiques, le monde de la culture est un seul et même pays.” - David Hilbert
Re: Prolongement par continuité de x^y en (0,0)
il y a quatre semaines
Oui, en tant que cardinal, il est tout à fait certain que $0^0=1$.
De plus dans les formules d'algèbre, cette valeur, convention ou non, est la seule qui assure une cohérence.
Par exemple, quand on note un polynôme comme d'habitude $\displaystyle P(x)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}a_{k}x^{k}$, seule la valeur $0^0=1$ assure que $P(0)=a_0$. Et il y a plein d'autres arguments.
On en a maintes fois parlé sur ce forum. C'est un des plus beaux marronniers du verger smiling smiley.
Bonne soirée.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Chaurien.
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